¿Por qué es correcto pensar en las transformaciones lineales como algo que mantiene las líneas como líneas y mantiene el origen fijo?

Answer 1

Por transformación lineal, queremos decir que para dos vectores v y w en el mismo campo, existen las siguientes condiciones.

T ( v + w ) = T ( v) + T ( w ) y T (c v ) = cT ( v ) donde c es cualquier constante real.

Poner vector v = cero vector = o .

Entonces,

T ( 0 + w ) = T ( 0 ) + T ( w )
T ( w ) = T ( 0 ) + T ( w )
T ( w ) cancela tanto de LHS como de RHS y resulta:
T ( 0 ) = 0
La transformación del vector cero (es decir, el origen) dio como resultado el origen mismo. Entonces, se prueba un resultado.

Ahora, demostremos el segundo resultado.
Las dos líneas paralelas son: t x y a + t x .
La transformación lineal de ellos se convierte en:
T (t x ) y T ( a + t x ).
Veamos las transformaciones ahora usando la definición de transformación lineal.
T (t x ) = tT ( x )
T ( a + t x ) = T ( a ) + T (t x ) = T ( a ) + tT ( x )

Las líneas transformadas tT ( x ) y T ( a ) + tT ( x ) son líneas paralelas, ya que solo están espaciadas por el vector T ( a ).

Entonces, las líneas paralelas permanecen paralelas incluso después de la transformación lineal.

Answer 2

Por definición, una transformación lineal es una función que satisface la siguiente propiedad:

T (a u + b v ) = a T ( u ) + b T ( v ),

para cualquier vector u y v , y cualquier escalar a y b. Todas las propiedades que se muestran en este video son consecuencia de la definición, aplicada a las matrices, que son un tipo específico de vectores.

Para realmente entender más, tendrá que estudiar álgebra lineal, comenzando por la definición de espacios vectoriales.