¿Es una buena idea enseñar un curso introductorio sobre álgebra lineal con álgebra geométrica?

Answer 1

Existen muchas definiciones de “álgebra”, y “álgebra lineal” y “álgebra geométrica” ​​usan dos diferentes. Ambos son temas relacionados, pero también son algo diferentes.

El álgebra lineal es principalmente el estudio de las propiedades de las transformaciones lineales, que transforman vectores en un espacio vectorial en vectores en otro (posiblemente el mismo) espacio vectorial conservando la propiedad de “linealidad”. Si bien el álgebra lineal se basa en el concepto de un vector, los vectores (y los conceptos relacionados de bajo nivel de productos internos, etc.) se definen de una manera adecuadamente abstracta para que el álgebra lineal tenga una amplia aplicabilidad; es útil para resolver ecuaciones diferenciales, la mecánica cuántica, la física relativista, la criptografía, etc. Incluso en ocasiones, las regresiones lineales de mínimos cuadrados se pueden resolver / probar mediante álgebra lineal.

El álgebra geométrica, por otro lado, está mucho más preocupada por los propios vectores. Se considera que los vectores tienen una vista geométrica más concreta (realmente se consideran flechas en un espacio n-dimensional). Mientras que el álgebra lineal es generalmente independiente de la dimensión, el álgebra geométrica cambia un poco de carácter dependiendo de con cuántas dimensiones esté trabajando (si ciertas operaciones son conmutativas o anticomutativas, por ejemplo, o si ciertas expresiones pueden simplificarse).

Un “álgebra” es un nombre para un espacio lineal que tiene un producto: si [math] \ mathbf {u} [/ math] y [math] \ mathbf {v} [/ math] son ​​elementos del espacio lineal, entonces también lo es el producto [math] \ mathbf {uv} [/ math], de una manera razonablemente definida (es decir, es lineal en ambos [math] \ mathbf {u}, \ mathbf {v} [/ math]). El álgebra lineal en general no es un “álgebra” bajo esta definición cuando se consideran los vectores, pero es así cuando se consideran los operadores lineales (los operadores lineales en un espacio vectorial forman un espacio lineal, y la composición de los operadores lineales actúa como un producto algebraico ) El álgebra geométrica, por otro lado, define un producto entre sus elementos que actúa correctamente, pero los elementos ya no son simples vectores. Por lo tanto, es un “álgebra” adecuado bajo esta definición.

Muchos consideran que el álgebra geométrica es esencialmente un subconjunto de “Álgebras de Clifford”, desarrollado a fines de 1800 por William Clifford.

Tanto el álgebra lineal como el álgebra geométrica no deben confundirse con la geometría algebraica, que es el estudio de curvas, superficies, etc. en múltiples que usan álgebra y cálculo, y no son necesariamente lineales. Creo que la respuesta de Dave Shapiro puede ser confusa álgebra geométrica y geometría algebraica.

Answer 2

Depende de las habilidades de los estudiantes. Si tienen antecedentes suficientes, no vería un problema. Sin embargo, mezclar los dos, especialmente si esta es su introducción inicial a los dos, creo que sería confuso.

Considere enseñar una clase de geometría. Si los estudiantes tienen una base sólida en geometría euclidiana, pasar a geometrías no euclidianas es un paso incremental. Si sugirió que un triángulo tiene más de 180 grados en una superficie curva, podrían comprenderlo. Si presentara ambos al mismo tiempo, (con una base débil o inexistente) probablemente se confundirían.