Leí tu comentario y todavía no estoy exactamente seguro de lo que estás preguntando, pero parece estar preocupado por la frecuencia con la que ocurren los puntos con valores enteros en una línea. (Por puntos con valor entero, me refiero a puntos (x, y) de modo que tanto x como y son números enteros).
Supongamos que tenemos un punto (x1, y1) en una línea y = mx + b tal que x1, y1 yb son enteros, ym es un número racional que se puede escribir en forma reducida como m1 / m2.
Entonces, cualquier punto cae en la línea si y solo si puede escribirse como (x + n, y + n * m1 / m2) para algún n. Estos puntos tendrán un valor entero si y solo si n es un número entero, y n * m1 / m2 es un número entero. Como m1 / m2 ya está escrito en forma reducida, esto ocurre si y solo si n es un múltiplo de m2.
Entonces, si solo medimos la distancia a través del eje x, cada punto entero en la línea estará espaciado uniformemente en unidades de m2. Si medimos la distancia euclidiana, la distancia mínima entre dichos puntos será sqrt (m1 ^ 2 + m2 ^ 2). (Porque si dos puntos están separados por unidades m2 en la coordenada x, serán m * m2 = unidades m1 separadas en la coordenada y).
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Si hacemos my número irracional como pi pero no cambiamos ninguna otra suposición, entonces no puede haber más de un punto con valor entero en la línea.
Algunas extensiones interesantes para cualquiera que quiera desafiarse a sí mismo:
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Disculpas por no usar el modo matemático; Volveré y editaré esta pregunta más adelante si atrae interés general y / o tengo tiempo.