No estoy seguro acerca de la pregunta, pero imagino que consideras una matriz tridiagonal [matemática] A [/ matemática] y un sistema [matemático] Ax = f [/ matemático] que necesitas resolver. No es realmente “una prueba”, pero puede escribir la forma de las soluciones en este caso.
Si considera una matriz no singular y tridiagonal [matemática] A [/ matemática] como:
[matemáticas] A = [/ matemáticas] [matemáticas] \ begin {pmatrix} a_ {1} & c_ {1} & \ ldots & 0 \\ b_ {2} & a_ {2} & \ ddots & & \\ & \ ddots & & c_ {n-1} \\ 0 & & b_ {n} & a_ {n} \ end {pmatrix} [/ math]
En este caso, puede aplicar una descomposición [matemática] LU [/ matemática] a [matemática] A [/ matemática]. Las matrices [matemáticas] L [/ matemáticas] y [matemáticas] U [/ matemáticas] son matrices bidiagonales:
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[matemáticas] L = \ begin {pmatrix} 1 & & & 0 \\ \ beta_ {2} & 1 & & \\ & \ ddots & \ ddots & \\ 0 & & \ beta_ {n} & 1 \ end {pmatrix }, U = \ begin {pmatrix} \ alpha_ {1} & c_ {1} & & 0 \\ & \ alpha_ {2} & \ ddots & & \\ & & \ ddots & c_ {n-1} & \ \ 0 & & & \ alpha_ {n} \ end {pmatrix} [/ math]
Los coeficientes [matemática] \ alpha_ {i} [/ matemática] y [matemática] \ beta_ {i} [/ matemática] se pueden calcular utilizando las relaciones:
[matemáticas] \ alpha_ {i} = a_ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] \ beta_ {2} \ alpha_ {1} = b_ {2} \ Rightarrow \ beta_ {2} = \ frac {b_ {2 }} {\ alpha_ {1}} [/ math], [math] \ beta_ {2} c_ {1} + \ alpha_ {2} = a_ {2} \ Rightarrow \ alpha_ {2} = a_ {2} – \ beta_ {2} c_ {1} [/ math], [math] [/ math] y así sucesivamente
Por lo tanto, obtenemos:
[matemáticas] \ alpha_ {1} = a_ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] \ beta_ {i} = \ frac {b_ {i}} {\ alpha_ {i-1}} [/ matemáticas], [/ matemáticas], [ matemática] \ alpha_ {i} = a_ {i} – \ beta_ {i} c_ {i-1} [/ matemática], [matemática] i = 2, \ dotso, n. [/ matemática]
Se llama algoritmo Thomas, el número de operaciones que realizará es [matemática] “n” [/ matemática] -orden.
Con este algoritmo, encontrar la solución de su sistema tridiagonal [matemática] Ax = f [/ matemática] se convierte en lo mismo que encontrar la solución de 2 sistemas bidiagonales [matemática] Ly = f [/ matemática] y [matemática] Ux = y [/ math] como:
[matemáticas] Ly = f \ Leftrightarrow y_ {1} = f_ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] y_ {i} = f_ {i} – \ beta_ {i} y_ {i-1} [/ matemáticas] , [matemáticas] i = 2, \ dotso, n. [/ matemáticas]
[matemáticas] Ux = y \ Leftrightarrow x_ {n} = \ frac {y_ {n}} {\ alpha_ {n}} [/ matemáticas], [matemáticas] x_ {i} = \ frac {y_ {i} -c_ {i} x_ {i + 1}} {\ alpha_ {i}} [/ math], [math] i = n-1, \ dotso, 1. [/ math]
Entonces su solución numérica existe y la expresión es:
[matemáticas] x_ {n} = \ frac {y_ {n}} {\ alpha_ {n}} [/ matemáticas], [matemáticas] x_ {i} = \ frac {y_ {i} -c_ {i} x_ { i + 1}} {\ alpha_ {i}} [/ math]
[matemáticas] i = n-1, \ dotso, 1. [/ matemáticas]
El número de operaciones es operaciones [matemáticas] 3 (n-1) [/ matemáticas] para la parte de factorización y operaciones [matemáticas] 5n-4 [/ matemáticas] para la parte de sustitución. El total es igual a [matemáticas] 8n-7 [/ matemáticas] operaciones.
Espero que ayude … No hay realmente una prueba de la existencia de “la solución numérica debido a las características de una matriz tridiagonal”. Debe probar que su problema tiene una solución y luego puede expresarla numéricamente porque tiene una matriz tridiagonal en su sistema.