¿Cuál es un método generalizado para encontrar el polinomio mínimo de una matriz cuadrada?

Answer 1

Si la matriz cuadrada [matemática] M [/ matemática] es diagonalizable y sus valores propios distintos son [matemática] \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_q [/ matemática], entonces el polinomio mínimo de [matemática] M [/ matemática] es [ math] (x- \ lambda_1) \ cdots (x- \ lambda_q) [/ math], es decir, el producto de los distintos factores del polinomio característico.

Si [math] M [/ math] no es diagonalizable, encuentre su polinomio característico y considere todos los factores [math] f (x) [/ math] del polinomio característico, comenzando por el que tiene el grado más pequeño. Si [math] f (M) = 0 [/ math], entonces [math] f (x) [/ math] es el polinomio mínimo. Por ejemplo, si el polinomio característico es [matemáticas] (x-1) ^ 2 (x-2) ^ 2 [/ matemáticas], compruebe si las siguientes matrices son iguales a la matriz cero, en orden:

1. [matemáticas] MI [/ matemáticas]
2. [matemáticas] M-2I [/ matemáticas]
3. [matemáticas] (MI) (M-2I) [/ matemáticas]
4. [matemáticas] (MI) (MI) [/ matemáticas]
5. [matemáticas] (M-2I) (M-2I) [/ matemáticas]
6. [matemáticas] (MI) (MI) (M-2I) [/ matemáticas]
7. [matemáticas] (MI) (M-2I) (M-2I) [/ matemáticas]
8. [matemáticas] (MI) (MI) (M-2I) (M-2I) [/ matemáticas]

El último de la lista anterior debe ser igual a la matriz cero según el teorema de Cayley-Hamilton. La primera de las matrices anteriores que es igual a cero corresponde al polinomio mínimo de [matemática] M [/ matemática] (reemplazando [matemática] M [/ matemática] con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] I [/ math] con [math] 1 [/ math]).

(Tenga en cuenta que, técnicamente, los factores mencionados en la publicación anterior son irreductibles en algún anillo conmutativo. Sin embargo, para los estudiantes, este es el campo de los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math] o el campo del complejo números [math] \ mathbb {C} [/ math]. Así que decidí simplificar un poco mi publicación.)

Answer 2

Si bien Alexander Farrigua describe un algoritmo válido, calcular el polinomio mínimo de esta manera es ineficiente en general, especialmente para matrices grandes. Sea [matemático] T: V \ a V [/ matemático] un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensiones finitas. Queremos encontrar el polinomio mínimo de [math] T [/ math]. Primero, un lema:

Lema Si [matemática] V = U_1 + U_2 + \ ldots + U_n [/ matemática] con [matemática] T (U_m) \ subconjunto U_m [/ matemática] para cada [matemática] m [/ matemática] y [matemática] \ pi_ { U} [/ math] es el polinomio mínimo de la restricción [math] T | _U [/ math], luego tenemos [math] \ pi_ {V} = \ operatorname {lcm} (\ pi_ {U_1}, \ pi_ {U_2}, \ ldots, \ pi_ {U_n}) [/ math].

Dejo su prueba al lector como ejercicio.

Ahora, elija un vector distinto de cero [matemático] v \ en V [/ matemático], y considere el conjunto [matemático] \ {v, T (v), T ^ 2 (v), \ ldots, T ^ m (v) \}[/matemáticas]. Hay una [matemática] m [/ matemática] más pequeña tal que este conjunto es linealmente dependiente ya que [matemática] V [/ matemática] es de dimensión finita, y la relación de dependencia lineal es de la forma [matemática] p (T) v = 0 [/ math] donde [math] p [/ math] es un polinomio de grado [math] m [/ math]. Se ve fácilmente que [matemática] p (x) [/ matemática] es el polinomio mínimo de [matemática] T [/ matemática] restringido al subespacio cíclico generado por [matemática] v [/ matemática]. Ahora, elija otro vector [math] v_2 [/ math] fuera del espacio de este subespacio cíclico y repita el proceso. El algoritmo finalmente termina ya que [matemática] V [/ matemática] es de dimensión finita, y terminamos con la situación descrita en el lema. Por lo tanto, tomar el mínimo común múltiplo de todos los polinomios encontrados hasta ahora da el polinomio mínimo de [math] T [/ math].