Cómo encontrar todos los valores de b [matemática] \ begin {bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ – b & -1 & b \\ b ^ 2 & 1 & -b \ end {bmatrix} x = \ begin {bmatrix} c \ \ d \\ e \ end {bmatrix} [/ math]

Answer 1

Su sistema lineal es consistente significa que para cualquier valor de [matemática] c, d, e [/ matemática], su sistema tiene una solución, por lo que la matriz [matemática] \ begin {bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ – b & -1 & b \\ b ^ 2 & 1 & -b \ end {bmatrix} [/ math] es invertible, lo que significa que su determinante no es cero, así que calculemos con respecto a [math] b [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ det \ begin {bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -b & -1 & b \\ b ^ 2 & 1 & -b \ end {bmatrix} = \ det \ begin {bmatrix} -1 & b \ \ 1 & -b \ end {bmatrix} + b \ det \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -b \ end {bmatrix} + b ^ 2 \ det \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & b \ end {bmatrix} = 0 + b (-b + 1) + b ^ 2 (b-1) = b (b-1) (- 1 + b) = b (b-1) ^ 2 [/matemáticas]

Y para que esto sea [matemática] 0 [/ matemática] necesita [matemática] b \ in \ {0,1 \} [/ matemática], y para cualquier otra cosa, su sistema es consistente.

Answer 2

El equivalente de esta afirmación es, por supuesto, que el rango de la matriz cuadrada de la izquierda es [matemática] 3 [/ matemática], es decir, la matriz no es singular. Para entonces, los vectores [matemáticas] \ vec {\ beta} _1 = (1, -b, b ^ 2) [/ matemáticas], [matemáticas] \ vec {\ beta} _2 = (1, -1, 1) [/ math] y [math] \ vec {\ beta} _3 = (-1, b, -b) [/ math] forman una base en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y cualquier vector [math] \ vec {v} = (c, d, e) \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] puede expresarse como una combinación lineal de [math] \ vec {\ beta} _1 [/ math ], [matemáticas] \ vec {\ beta} _2 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ vec {\ beta} _3 [/ matemáticas].

El determinante se evalúa como [matemática] b + b ^ 3 – 2b ^ 2 [/ matemática]. Resolvemos para b la inecuación:

[matemática] b + b ^ 3 – 2b ^ 2 \ neq 0 \ implica b (b – 1) ^ 2 \ neq 0 [/ matemática]

Por lo tanto, el sistema lineal es consistente para todos los valores de [matemática] b [/ matemática] excepto [matemática] b = 0 [/ matemática] y [matemática] 1. [/ Matemática]