Cómo dar un ejemplo de un espacio vectorial que no es de dimensión finita

Answer 1

Mi ejemplo favorito (y creo que también muy interesante) es un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] de números reales con escalares que son números racionales. Entonces, un vector arbitrario de [matemáticas] V [/ matemáticas] es un número [matemáticas] x \ en R [/ matemáticas], y un escalar es un número [matemáticas] q \ en Q [/ matemáticas]. El producto escalar se define simplemente como la multiplicación de dos números y la suma de dos vectores como la suma de dos números.

Por ejemplo, los vectores [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ pi [/ math] definen un subespacio de [math] V [/ math] de todos los vectores de from [math] i \ sqrt { 2} + j \ pi [/ math] donde [math] i, j \ en Q [/ math].

Ahora suponga que [matemática] V [/ matemática] tiene una dimensión finita [matemática] n [/ matemática]. Significa que existe una base finita [matemática] x_1, x_2, \ puntos, x_n \ en R [/ matemática], de modo que cada número en [matemática] R [/ matemática] puede escribirse (únicamente) en la forma [ math] i_1 x_1 + i_2 x_2 + \ dots + i_n x_n [/ math] para algunos escalares [math] i_1, i_2, \ dots, i_n \ en Q [/ math]. Sin embargo, dado que [math] Q [/ math] es un conjunto contable, se deduce que también el conjunto de todos los números de la forma anterior es contable. Esto es una contradicción ya que [math] R [/ math] no es contable (en otras palabras, nuestra base puede generar solo muchos números, lo que no es suficiente), por lo tanto, [math] V [/ math] tiene una dimensión infinita. Usando el mismo argumento también podemos probar que la base debe ser mayor que el conjunto contable.

Hay muchos otros ejemplos (ver otras respuestas), pero realmente me gusta este, ya que solo necesita conocer los números reales (y obviamente la definición de un espacio vectorial) para comprenderlo.

Terminaré esto con un problema y puede intentar encontrar su conexión con el espacio vectorial definido anteriormente:
Encuentre todas las funciones reales tales que [matemática] f (1) = 1 [/ matemática] y [matemática] f (a + b) = f (a) + f (b) [/ matemática] para cada [matemática] a, b \ en R [/ matemáticas].

Answer 2

Aquí hay algunos ejemplos simples.

1. Elija cualquier conjunto infinito [matemática] X [/ matemática]. Entonces el lapso de [matemáticas] X [/ matemáticas] sobre cualquier campo [matemáticas] F [/ matemáticas] es un espacio vectorial de dimensiones infinitas.
2. Elija cualquier campo [matemática] F [/ matemática] y subcampo [matemática] K \ subconjunto F [/ matemática] de modo que el índice [matemática] [F: K] [/ matemática] sea infinito (como grupos abelianos). Entonces [math] F [/ math] es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre [math] K [/ math].

1. Por ejemplo, [math] \ mathbb {R} [/ math] es un espacio vectorial de dimensiones infinitas sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math].
2. Por ejemplo, el campo de la serie Laurent [math] \ mathbb {F} _q ((x)) [/ math] con coeficientes en un campo finito [math] \ mathbb {F} _q [/ math] es un vector dimensional infinito espacio sobre [math] \ mathbb {F} _q [/ math].

Para cualquier campo [matemática] K [/ matemática], el conjunto de todas las secuencias [matemática] a = (a_1, a_2, \ ldots) [/ matemática] con valores en [matemática] K [/ matemática] es un vector de dimensión infinita espacio.

El espacio de funciones continuas (o suaves, o lo que sea) en cualquier variedad real no vacía de dimensión positiva es de dimensión infinita.

Answer 3

Mientras que las funciones, los reales sobre los racionales y las secuencias infinitas (con varias condiciones), como otros han mencionado, forman algunos ejemplos, aquí hay otro: el espacio vectorial de polinomios. Puede sumar / restar / multiplicar por números reales (o complejos). Sin embargo, hay infinitos vectores base linealmente independientes: 1, x, x ^ 2, etc.

Answer 4

Posiblemente esté acostumbrado a pensar que los espacios vectoriales (reales) de dimensión finita consisten en secuencias finitas (x_1, …, x_n) de números reales con multiplicación escalar dada por a (x_1, …, x_n) = (ax_1, … ax_n) y la suma de vectores por (x_1, …, x_n) + (y_1, …, y_n) = (x_1 + y_1, …, x_n + y_n). Si es así, quizás el ejemplo más fácil de entender es la colección de secuencias infinitamente contables (x_1, x_2, x_3, …) de números reales con suma y multiplicación escalar definidos de manera análoga.

Cuando agrega la condición de que la suma de los cuadrados de los números x_k es finita, el espacio vectorial resultante tiene un producto interno y una norma que se definen de la misma manera que el producto interno euclidiano y la norma en el caso de dimensión finita (excepto las sumas son ahora series infinitas). Este espacio vectorial de dimensión infinita es un espacio de Hilbert, y todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita contable son isomorfos a este por isomorfismos que preservan productos y normas internas (es decir, son esencialmente el mismo espacio).

Answer 5

El espacio de funciones. Puede considerar una función f (x) como un vector {f (x_i)} con el conjunto x_i al mismo tiempo infinito en longitud y densidad, como los reales.

Answer 6

Creo que es más fácil trabajar con el espacio de series limitadas en IR. Destaca muchas características del infinito dim. espacios vectoriales

El espacio de los polinomios reales es esencialmente el mismo pero con más cosas que llevas. Así que prefiero series sobre esta.