Trevor Cheung ya ha respondido la primera parte. Tenga en cuenta que para la segunda y la tercera parte, creo que la razón por la que no puede abordarlo es porque se dio cuenta de que evalúan a un valor constante independientemente de los valores de las variables individuales. Sin embargo, no lo hacen. Para entender esto, considere el siguiente determinante:
[matemática] \ left | \ begin {matrix} 5 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \ end {matrix} \ right | [/ math],
que se evalúa como [math] 5 [/ math] y, por lo tanto, puede ser una instancia válida del determinante original. Evalúe el determinante en [math] (2) [/ math] correspondiente a este determinante y obtendrá el valor [math] 5 [/ math]. Ahora, considere este determinante:
[matemática] \ left | \ begin {matrix} 5 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \ end {matrix} \ right | = 5 [/ matemáticas],
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que también es una instancia válida del determinante original. En correspondencia con esto, el determinante [matemática] (2) [/ matemática] se evalúa como [matemática] -20 [/ matemática].
Por lo tanto, la respuesta será en términos de variables y no de valores constantes. Podemos simplificarlo un poco así:
[matemática] \ left | \ begin {matrix} a && b && c \\ d && e && f \\ 0 && h-ab && i-ac \ end {matrix} \ right | = \ left | \ begin {matrix} a && b && c \\ d && e && f \\ g – a ^ 2 && h -ab && i-ac \ end {matrix} \ right | + \ left | \ begin {matrix} a && b && c \\ d && e && f \\ a ^ 2 – g && 0 && 0 \ end {matrix} \ right | [/ math]
El primero de los determinantes a la derecha se evalúa como [matemática] 5 [/ matemática]. De hecho, la tercera fila es igual a la tercera fila de la suma determinante original [matemática] a [/ matemática] multiplicada por la primera fila. El segundo determinante a la derecha se evalúa como [matemática] (a ^ 2-g) \ izquierda | \ begin {matrix} b && c \\ e && f \ end {matrix} \ right | [/ math].
La tercera parte del problema se resuelve de la misma manera. Tenga en cuenta que [matemáticas] \ left | \ begin {matrix} a && d && g \\ b && e && h \\ c && f && i \ end {matrix} \ right | = 5 [/ math], ya que es el determinante original con filas y columnas intercambiadas. Por lo tanto, podemos escribir:
[matemáticas] \ left | \ begin {matrix} a && d && g \\ d && e && h \\ c && f && i \ end {matrix} \ right | = \ left | \ begin {matrix} a && d && g \\ b && e && h \\ c && f && i \ end {matrix} \ right | + \ left | \ begin {matrix} a && d && g \\ (d – b) && 0 && 0 \\ c && f && i \ end {matrix} \ right | [/ math]
y evaluar como en [matemáticas] (2) [/ matemáticas].