Debería examinar la descomposición propia de una matriz.
La idea es así …
Almacenamos los valores propios de [math] A [/ math] como una matriz diagonal [math] \ Lambda [/ math] y sus vectores propios (unidades) correspondientes como una matriz de columna [math] Q [/ math] para escribir [math] A [/ math] como:
[matemáticas] A = Q \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
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Entonces
[matemáticas] A ^ 2 = Q \ Lambda Q ^ {- 1} Q \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = Q \ Lambda I \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = Q \ Lambda \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = Q \ Lambda ^ 2 Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
Y por inducción:
[matemáticas] A ^ n = Q \ Lambda ^ n Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
Y como [math] \ Lambda [/ math] es una matriz diagonal, [math] \ Lambda ^ n [/ math] es una matriz diagonal cuyos elementos son [math] n ^ {\ text {th}} [/ math ] poder de los elementos de [math] \ Lambda [/ math].
Para su problema:
[matemáticas] A = \ begin {pmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 7 \ end {pmatrix} [/ math]
Los valores propios resultan ser 2 y 3, por lo que tenemos:
[matemáticas] \ Lambda = \ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \ end {pmatrix} [/ math]
Usando sus vectores propios, obtenemos:
[matemáticas] Q = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 4 {\ sqrt {41}} \\ \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 5 {\ sqrt {41}} \ end {pmatrix} [/ math]
Entonces eso (y deberías comprobar esto tú mismo):
[matemáticas] A = Q \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
Y finalmente:
[matemáticas] A ^ n = Q \ Lambda ^ n Q ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 4 {\ sqrt {41}} \\ \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 5 {\ sqrt { 41}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 2 ^ n & 0 \\ 0 & 3 ^ n \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 4 {\ sqrt {41}} \\ \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 5 {\ sqrt {41}} \ end {pmatrix} ^ {- 1} [/ math]
[matemáticas] = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 4 {\ sqrt {41}} \\ \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 5 {\ sqrt { 41}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 2 ^ n & 0 \\ 0 & 3 ^ n \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} {5 \ sqrt 2} & – {4 \ sqrt {2}} \ \ – \ sqrt {41} & \ sqrt {41} \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 4 {\ sqrt {41}} \\ \ frac {1} {\ sqrt 2} & \ frac 5 {\ sqrt { 41}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} {5 \ sqrt 2} \ cdot 2 ^ n & – {4 \ sqrt {2}} \ cdot 2 ^ n \\ – \ sqrt {41} \ cdot 3 ^ n & \ sqrt {41} \ cdot 3 ^ n \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] = \ begin {pmatrix} – (4 \ cdot 3 ^ n-5 \ cdot 2 ^ n) y 4 \ cdot (3 ^ n- 2 ^ {n}) \\ -5 \ cdot (3 ^ n – 2 ^ n) y 5 \ cdot 3 ^ n- 4 \ cdot2 ^ {n} \ end {pmatrix} [/ math]
Observe que para [math] n = 0 [/ math] esto proporciona la matriz de identidad y para [math] n = 1 [/ math] da [math] A [/ math] por lo que parece prometedor. De hecho, esta respuesta parece confirmarse mediante el cálculo numérico de varios valores de [math] n [/ math], así que creo que lo hice sin ningún error.