¿Es la elasticidad una cantidad vectorial?

Answer 1

No lo es.

Puede parecer que la elasticidad es escalar al mirar todas las ecuaciones que aprendiste en tus días de escuela. En realidad, la elasticidad es un tensor de orden 2, que se escribe como una matriz cuadrada de dimensiones apropiadas.

La ecuación escalar proviene de la simplificación, suponiendo que un material es elástico solo en una sola dimensión. Cuando se aplica el supuesto anterior, todos los elementos del tensor de elasticidad (que es una matriz) se vuelven cero, excepto el término que muestra la elasticidad de la dirección particular que asumimos sobre la cual se supuso que el material era elástico.

Luego resolviendo la ecuación de estrés = Elasticidad * deformación,

da una sola ecuación en la forma que hemos estudiado en la escuela como la Ley de Hooke.

Perdón por no dar las expresiones matemáticas porque no sé usar matrices y otras cosas en la página de respuestas

Puede consultar Wikipedia para más información.

ley de Hooke

Answer 2

No. . Si se refería a la elasticidad o rigidez del material, un tensor de elasticidad 3D es un tensor de cuarto orden, que relaciona los dos tensores de tensión y tensión de segundo orden.

En forma de componente: [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sigma_ {ij} = C_ {ijkl} \ epsilon_ {kl} [/ matemáticas]

Donde [math] \ sigma_ {ij} [/ math] es el tensor de estrés, [math] \ epsilon_ {kl} [/ math] es el tensor de tensión y [math] C_ {ijkl} [/ math] es el cuarto- tensor de elasticidad de orden.

Trivialidades:

• Espero que entiendas la definición de tensor. Un tensor es una transformación lineal o un mapa lineal de un espacio a otro.
• Además, un vector es un tensor de primer orden y un escalar es un tensor de orden cero.
• La acción de un tensor de segundo orden en un vector (primer orden) se transformará y generará otro tensor de primer orden.
• Aquí [math] C_ {ijkl} [/ math] es un tensor de cuarto orden, que actúa sobre [math] \ epsilon_ {kl} [/ math] (que es un tensor de segundo orden} para dar [math] \ sigma_ {ij} [/ math] (otro tensor de segundo orden).

Hay muchos más. . Espero que tu duda sea aclarada. He intentado responder a tu pregunta matemáticamente. Avíseme si está buscando una visión más física.

Edición 1: Explicación física

El estrés se define en un punto en un plano. ¿Derecho? En un solo plano, pueden existir 3 componentes de tensión ortogonales, es decir, un componente de tensión normal y dos componentes de tensión de corte.

Entonces, 3 componentes de estrés en un plano. ¿Derecho? Pero hay infinidad de planos que pasan por el mismo punto de interés. Dado que las coordenadas cartesianas elegidas son ortogonales, sería fácil identificar tres planos ortogonales paralelos a los ejes de coordenadas a través del punto. Un avión tiene 3 componentes de tensión como se mencionó anteriormente. Entonces 3 planos ortogonales tendrán 9 componentes de tensiones; 3 componentes normales y 6 componentes de corte. ¿Bien? Estos 9 componentes (o al menos 6, si el tensor de estrés es simétrico) son necesarios para definir el estado de estrés en el punto del cuerpo por completo. ¿Un vector en 3 dimensiones tiene 9 componentes? No, verdad? Esto hace que el estado de estrés sea más alto en orden que un vector. Un tensor Para ser exactos, un tensor de segundo orden. La misma historia va con el estado del tensor de tensión.

Recomendaría buscar mi blog para conocer más sobre la relación constitutiva:

Física Matemática

También le recomendaría que lea el primer y el segundo capítulo de cualquier buen libro sobre la teoría de la elasticidad.

Gracias.