Deje M ser una matriz. Tenga en cuenta que puede tomar combinaciones lineales de matrices, por lo que el conjunto de matrices N x N forma un espacio vectorial de dimensión N ^ 2. Las matrices
I, M, M ^ 2, M ^ 3, …
será linealmente dependiente en el momento en que llegue a la potencia N ^ 2 de M, por lo que puede encontrar el exponente más pequeño Q para el cual
I, M, …, M ^ Q
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es linealmente dependiente, dando una ecuación P (M) = 0, donde P es un polinomio y donde el término constante de P se interpreta como un múltiplo de la matriz de identidad.
Puede ver que si M ya es una matriz diagonal que P (lamda) = 0 para cualquier valor propio de M. De hecho, incluso si M no es diagonal, entonces las raíces de P serán valores propios de M.
Entonces, uno realmente no necesita determinantes o el polinomio característico para diagonalizar una matriz diagonalizable, simplemente puede sustituir el polinomio P anterior por el polinomio característico.