Supongo que quieres una explicación intuitiva / conceptual, no matemática. La proyección escalar y la proyección vectorial son esencialmente lo mismo (excepto que la primera es un caso especial de la segunda). Como ejemplo de la vida real, si tiene un poste atrapado en el suelo y una fuente de luz, la fuente de luz “proyecta” una sombra sobre el suelo, dependiendo del ángulo de la fuente de luz. Básicamente, eso es todo una proyección vectorial, excepto que a los matemáticos les gusta pensar en diferentes dimensiones. Por ejemplo, una proyección escalar no es más que proyectar un objeto 2D en una recta numérica 1D (elección arbitraria, pero generalmente el eje x o y tiende a ser más útil).
¿Cual es el uso? Bueno, en álgebra lineal (es decir, álgebra que involucra matrices y espacios vectoriales), es extremadamente útil tener algo llamado “base ortonormal”. Por ejemplo, en un plano cartesiano, los ejes x e y son ortogonales (o perpendiculares) entre sí. En un espacio 3D, los ejes x, y y z son ortogonales entre sí, y así sucesivamente. Sin embargo, estos ejes generalmente se definen de manera arbitraria (puede girar los ejes como desee y obtener los mismos resultados). El proceso de Gram-Schmidt le permite convertir cualquier lista de vectores en una base ortonormal, y utiliza proyecciones de vectores para hacer esto.