¿Dónde puedo encontrar algunos problemas abiertos no tan conocidos en álgebra / matemáticas puras y en física matemática?

Answer 1

Hay miles de problemas abiertos interesantes en matemáticas y física matemática, pero no tiene sentido para mí comenzar a enumerarlos. Los problemas que pueda hacer dependerán de sus habilidades y no ha dicho nada sobre sus habilidades.

Es bueno que esté pidiendo problemas “no conocidos”, porque los problemas conocidos tienden a ser muy difíciles. Le insto a que estudie la lista de problemas sin resolver en Wikipedia, porque incluso aprender de qué se tratan todos estos problemas lo obligará a aprender muchas matemáticas interesantes. Pero estos problemas son difíciles: es aconsejable comenzar con los más fáciles.

Entonces, ¿cómo encuentras los más fáciles?

Como Joseph Heavner señaló, lo mejor es trabajar con un profesor en un proyecto. Si encuentra a la persona adecuada, ellos sabrán preguntas sobre las que usted puede progresar y lo ayudarán. Casi todos los matemáticos exitosos han recibido ayuda de esta manera en algún momento. Incluso Ramanujan recibió ayuda de Hardy.

Cuando le pregunte a un profesor, debe hacerle saber que está dispuesto a trabajar durante varios años en un proyecto. Algunos estudiantes quieren hacer “investigación de verano” conmigo, pero un verano no es tiempo suficiente para hacer mucho.

Mi última estudiante de investigación de pregrado, Karine Bagdasaryan, trabajó conmigo durante aproximadamente un año. Tuvimos mucha suerte, porque un amigo mío (Philip Gibbs) acababa de progresar en un problema centenario, el problema de la cobertura universal de Lebesgue, después de haber blogueado al respecto. Este es uno de esos problemas que es fácil de enunciar pero difícil de resolver, del tipo que normalmente evitaría. Pero Gibbs necesitaba ayuda para escribir su prueba, así que Karine y yo hicimos eso. ¡Terminamos publicando un artículo al respecto! El problema aún no está resuelto, pero progresamos realmente.

¡Buena suerte!

Answer 2

Pregunta a tus profesores o solicita una REU. Incluso si eres un estudiante excepcional, es difícil encontrar el éxito incluso con la menor cantidad de fruta en la investigación. Querrá orientación más allá de simplemente sugerencias de proyectos.

Answer 3

Te recomendaría que estudies álgebra de Clifford, también conocida como álgebra geométrica.

¿Nunca lo oí? Casi nadie más lo ha hecho, pregúntele a su profesor de matemáticas, apuesto a que tampoco le son familiares, lo cual es extraño porque Clifford Algebra es el avance más significativo en matemáticas del que (prácticamente) nadie ha oído hablar.

Fue descubierto por Clifford hace un siglo, pero fue rápidamente eclipsado por los vectores inferiores de Gibbs y las operaciones matriciales que todos aprendimos en la escuela. Une una gran cantidad de diferentes campos matemáticos ( geometría coordinada, números complejos, cuaterniones, análisis vectorial, análisis tensorial, álgebra matricial, álgebra de Grassman, álgebra de spinor ), cada uno de los cuales tiene sus propios métodos y formalismos, todos están unidos bajo un solo formalismo bajo Clifford Algebra. Y la forma en que Clifford Algebra logra esta Gran Unificación es demostrando que todo el álgebra es realmente una rama de la geometría. Las manipulaciones algebraicas pueden explicarse como operaciones espaciales en estructuras espaciales. La naturaleza espacial explícita de Clifford Algebra lo hace mucho más intuitivo y fácil de visualizar. Misterios como i , la paradójica “raíz cuadrada de menos uno” resulta ser una rotación de 90 grados, que, si haces dos de ellas sucesivamente, terminas apuntando en la dirección opuesta, lo que equivale a la negación. Si estaba confundido en álgebra lineal y operaciones de matriz, y en números complejos, intente Álgebra de Clifford. De repente todo tiene sentido.

Echa un vistazo a Clifford Algebra: una introducción visual

donde todo se explica en imágenes en lugar de ecuaciones.

Para conocer el profundo significado del álgebra de Clifford para nuestra comprensión de los orígenes de las matemáticas, vea

Mapeo Doble Conformal

Esta es una gran oportunidad para un joven estudiante de matemáticas porque Clifford Algebra es muy desconocido y, sin embargo, tiene un enorme potencial en muchos campos diferentes de la matemática, y es de esperar que sea posible revisar nuestro plan de estudios de matemática para que el aprendizaje de las matemáticas sea intuitivo.