¿Cuáles son algunos ejemplos en la mecánica cuántica donde los operadores son hermitianos pero no autoadjuntos, y cómo tratamos estos casos?

Answer 1

Acabo de navegar por el enlace provisto en el comentario de Anónimo, aprendí de él e intentaré (con cierta inquietud) responder sus dos preguntas.

En pocas palabras, todos los operadores autoadjuntos son hermitianos. Pero si aplica un operador autoadjunto a una función de onda “inapropiada”, seguirá siendo Hermitian pero puede perder su “autoadjunta”.

1. ¿Cuáles son algunos ejemplos en la mecánica cuántica donde los operadores son hermitianos pero no autoadjuntos?
   Los físicos casi siempre asumen (o esperan o no les importa 🙂), que están tratando con funciones “apropiadas”. No se preocupan por los contraejemplos. Sin embargo, esta publicación que mencioné hace un muy buen trabajo al proporcionar tales ejemplos, en la sección 2.1 , y formularlos exactamente en el lenguaje de la mecánica cuántica, utilizado por los físicos. También proporciona una explicación de estos ejemplos en el Apéndice . Pero, por supuesto, necesita algunos conocimientos matemáticos para leer. ¡Disfrutar!
2. ¿Cómo tratamos estos casos?
   Los físicos no lo hacen, en la gran mayoría de las situaciones. Evitan tales casos. Cuando trabajaba como investigador, me encontré con un par de publicaciones en las que se necesitaba un tratamiento matemático más riguroso, que fue proporcionado, sin hacer ningún énfasis en esto. Tengo la impresión de que esos científicos tenían una mejor comprensión de las matemáticas subyacentes que la mayoría de los físicos usan, pero no querían llamar la atención sobre esto; estaban enfocados en el resultado físico final.

También quiero agregar que, aunque esto es una pregunta matemáticamente importante, profunda y, por lo tanto, interesante, en mi humilde opinión , no tiene ninguna relación con la física subyacente ni con la interpretación de la mecánica cuántica.

Answer 2

A la luz de las otras respuestas, quiero ser muy claro: ¡ser Hermitiano y ser autoadjunto en general no es lo mismo! Estas dos nociones coinciden para los espacios de dimensiones finitas, pero no tienen por qué ser las mismas para los de dimensiones infinitas. Seamos precisos.

Digamos que tiene un espacio de Hilbert [matemáticas] H [/ matemáticas] con el producto interno [matemáticas] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ matemáticas]. La noción clásica de un operador autoadjunto es la siguiente: es un operador [matemático] A: H \ rightarrow H [/ matemático] tal que

[matemáticas] \ langle A \ psi, \ phi \ rangle = \ langle \ psi, A \ phi \ rangle [/ math]

para cualquier [matemática] \ psi, \ phi \ en H [/ matemática].

Sin embargo, hay un problema: el teorema de Hellinger-Toeplitz le dice que cualquier operador como este debe estar acotado. Es decir, existe alguna constante [matemática] C> 0 [/ matemática] tal que [matemática] \ | A \ psi \ |

Este es un problema para la mecánica cuántica: la interpretación física es que [matemáticas] A [/ matemáticas] corresponde a una cantidad observable, y el espectro es el rango de valores que puede tomar esta cantidad observable. Hay muchos observables en la mecánica cuántica que definitivamente no están delimitados.

La solución matemática a este problema es considerar operadores que están definidos en algún subconjunto denso de [math] H [/ math], en lugar de en la totalidad de [math] H [/ math].

Un ejemplo probablemente sería bueno aquí. Considere una partícula atrapada en el intervalo [matemáticas] [1, \ infty) [/ matemáticas]. El espacio de estado debe ser [math] L ^ 2 ([1, \ infty)) [/ math], en términos generales, el conjunto de funciones en [math] [1, \ infty) [/ math] que son integrables al cuadrado . El operador de posición viene dado por [math] Xf (x) = xf (x) [/ math]. Entonces, note que

[matemáticas] \ int_1 ^ \ infty \ frac {1} {x ^ 2} dx <\ infty [/ matemáticas],

por lo tanto, [matemáticas] f (x) = 1 / x \ en L ^ 2 ([1, \ infty)) [/ matemáticas]. Sin embargo, [matemática] Xf = 1 [/ matemática] de forma idéntica, y por supuesto

[matemáticas] \ int_1 ^ \ infty 1 ^ 2 dx = \ infty [/ matemáticas],

por lo tanto, [math] Xf \ notin L ^ 2 ([1, \ infty)) [/ math] por lo que esto proporciona un estado explícito en el que el operador [math] X [/ math] no está definido.

(Un físico podría protestar aquí porque si realmente quiere decir que esta es una partícula atrapada en una caja unilateral, entonces la función de probabilidad debería decaer a 0 en 1. Eso está bien, solo tome el ejemplo que he dado, pero disminuya desactívela a 0 en un extremo. Puede hacer esto incluso de manera uniforme sin cambiar el comportamiento a largo plazo [matemático] 1 / x [/ matemático], que es lo único que importa).

Por supuesto, ahora que hemos acordado que necesitamos considerar operadores que solo están definidos en algún subconjunto denso [matemático] H [/ matemático], necesitamos considerar cómo definir un operador autoadjunto, y está lejos de ser obvio .

El enfoque ingenuo sería simplemente decir esto: un operador [math] A [/ math] es autoadjunto si [math] \ forall \ psi, \ phi [/ math] en el que [math] A [/ math] es definido,

[matemáticas] \ langle A \ psi, \ phi \ rangle = \ langle \ psi, A \ phi \ rangle [/ math].

Esto es lo que significa que un operador sea “Hermitiano”. Es la única condición que los físicos comprueban.

¿Es esto lo suficientemente bueno? No es para un matemático, no lo es.

Reed y Simon pasan un capítulo entero de su libro de análisis funcional para revisar todos los detalles y mostrar que con la definición correcta, todo funciona como se desea.

Aquí hay algunos problemas con la definición dada:

1. Si tengo dos operadores [matemática] A, B [/ matemática] de modo que el dominio de [matemática] A [/ matemática] esté contenido en el dominio de [matemática] B [/ matemática] y estén de acuerdo en el dominio de [ matemáticas] A [/ matemáticas], deben corresponder adecuadamente al mismo observable físico. Sin embargo, el formalismo matemático los da como dos operadores distintos .
2. No es obvio que es imposible tener un escenario donde hay dos operadores [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] que coinciden en la intersección de sus dominios, pero no hay un tercer operador [ math] C [/ math] que se define tanto en los dominios de [math] A [/ math] como [math] B [/ math] y está de acuerdo con estos dos operadores previamente definidos. Es decir: no está claro que haya una extensión única de cualquier operador definido en algún subconjunto denso de [math] H [/ math].
3. ¿Cómo podemos definir la suma / producto de los operadores que se definen en diferentes dominios? ¿Es esta suma / producto único, o hay muchas respuestas posibles diferentes?

Como puede ver, debe tener bastante cuidado si no desea que todo se descomponga horriblemente. Aquí está la solución de Reed y Simon.

Defina [math] Dom (A ^ *) [/ math] para que sea el conjunto de [math] \ phi \ en H [/ math] de modo que exista [math] \ eta \ en H [/ math] satisfactorio

[matemáticas] \ langle \ phi, A \ psi \ rangle = \ langle \ eta, \ psi \ rangle [/ math]

para cualquier [math] \ psi [/ math] en el dominio de [math] A [/ math].

Luego, defina el adjunto [math] A ^ * [/ math] para que sea el operador único definido en [math] Dom (A ^ *) [/ math] de modo que

[matemáticas] \ langle \ phi, A \ psi \ rangle = \ langle A ^ * \ phi, \ psi \ rangle [/ math].

Luego decimos que un operador es autoadjunto si [math] A ^ * = A [/ math].

Entonces, finalmente podemos dar un ejemplo de un operador que es Hermitiano pero no autoadjunto. Considere el operador [math] X [/ math] que definí anteriormente; en ese momento, no tenía cuidado al especificar cuál era su dominio. Permítanme hacer eso ahora: diremos que su operador se define en el subconjunto de funciones suaves que decaen más rápido que el inverso de cualquier polinomio. Se puede verificar que este es un subespacio denso de [matemática] L ^ 2 ([1, \ infty)) [/ matemática], y está claro que [matemática] X [/ matemática] está bien definida en este subespacio, ya que

[matemáticas] \ int_1 ^ \ infty \ | xf (x) \ | ^ 2 \ dx = \ int_1 ^ \ infty x ^ 2 \ | f (x) \ | ^ 2 \ dx <\ infty [/ matemática]

por la definición de [math] f [/ math]. Sin embargo, este operador no es autoadjunto. De hecho, sea [matemática] f (x) = 1 [/ matemática] para [matemática] x <2 [/ matemática], y [matemática] 0 [/ matemática] para [matemática] x> 2 [/ matemática]. Entonces es fácil ver que para cualquier [matemática] g \ en Dom (X) [/ matemática],

[matemáticas] \ langle f, Xg \ rangle = \ int_1 ^ \ infty x \ overline {f (x)} g (x) \ dx [/ math]

[matemáticas] = \ int_1 ^ 2 xg (x) \ dx. [/ matemáticas]

Ahora, defina [matemática] h (x) [/ matemática] para que sea igual a [matemática] x [/ matemática] para [matemática] x <2 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática] para [matemática] x> 2 [/ matemáticas]. Claramente, [matemáticas] h \ en L ^ 2 ([1, \ infty)) [/ matemáticas]. Entonces lo que hemos demostrado es que

[matemáticas] \ langle f, X g \ rangle = \ int_1 ^ 2 xg (x) \ dx [/ math]

[matemáticas] \ int_1 ^ \ infty \ overline {h (x)} g (x) \ dx [/ matemáticas]

[matemática] = \ langle h, g \ rangle [/ math].

Entonces, hemos encontrado una función explícita [math] f \ notin Dom (X) [/ math], pero [math] f \ en Dom (X ^ *) [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] X \ neq X ^ * [/ matemáticas] y hemos terminado.

Naturalmente, uno podría protestar porque el problema apareció debido al hecho de que no definimos [matemáticas] X [/ matemáticas] en un subconjunto suficientemente grande y denso de [matemáticas] H [/ matemáticas]. Eso es absolutamente correcto, y afortunadamente hay una extensión autoadjunta única de [math] X [/ math].

Sin embargo, no es el caso de que ningún operador hermitiano tenga una extensión autoadjunta única. Es cierto si y solo si el rango de los operadores [matemática] A \ pm i [/ matemática] es denso dentro de [matemática] H [/ matemática], pero eso no tiene por qué ser cierto. En general, un operador Hermitian podría no tener extensiones autoadjuntadas, o podría tener muchas extensiones autoadjuntas. Reed y Simon dan ejemplos explícitos en ambos casos.