Definamos nuestras matrices elementales bajo dos tipos de operaciones de fila elemental de la siguiente manera:
Cambiar las filas [math] i [/ math] -th y [math] j [/ math] -th:
[matemáticas] I_ {n \ veces n} \ quad \ underrightarrow {\ rho_i \ leftrightarrow \ rho_j} \ quad K_ {i, j} [/ math]
Multiplicar [matemática] i [/ matemática] enésima fila por un escalar:
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- Cómo encontrar un vector perpendicular a otro vector
[matemáticas] I_ {n \ veces n} \ quad \ underrightarrow {\ rho_i \ rightarrow k \ rho_i} \ quad L_ {i, k} [/ math]
Deje que [math] A_ {n \ times n} [/ math] sea una matriz cuadrada. Hacemos las siguientes afirmaciones:
- [math] K_ {i, j} A_ {n \ times n} [/ math] es equivalente a realizar la operación de fila elemental [math] \ rho_i \ leftrightarrow \ rho_j [/ math] en [math] A_ {n \ times n} [/ matemáticas].
- [math] L_ {i, j} A_ {n \ times n} [/ math] es equivalente a realizar la operación de fila elemental [math] \ rho_i \ rightarrow k \ rho_i [/ math] en [math] A_ {n \ veces n} [/ matemáticas].
Probamos que la primera es la afirmación más difícil. Dejar
[matemáticas] C_ {n \ veces n} = K_ {i, j} A_ {n \ veces n} [/ matemáticas]
Expresamos cada elemento de [math] C_ {n \ times n} [/ math] usando la definición de multiplicación de matrices de la siguiente manera.
[matemáticas] \ displaystyle c_ {p, q} = \ sum_ {s = 1} ^ n k_ {p, s} a_ {s, q} [/ matemáticas]
Es decir, el elemento [math] c_ {p, q} [/ math] es el resultado de multiplicar la [math] p [/ math] -th fila de [math] K_ {i, j} [/ math ] con la quinta fila de [math] A_ {n \ times n}. [/ math] Porque cada vector de fila de [math] K_ {i, j} [/ math] es igual a algún vector de fila de [math ] I_ {n \ times n} [/ math], cada elemento de [math] c_ {p, q} [/ math] es numéricamente igual a algún elemento del resultado de la multiplicación de alguna fila de la matriz de identidad [math ] I_ {n \ veces n} [/ matemáticas] y una columna de [matemáticas] A_ {n \ veces n} [/ matemáticas]. Por lo tanto, si [math] p \ neq i [/ math] o [math] j [/ math], entonces [math] c_ {p, q} = a_ {p, q} [/ math]. Si [math] p = i [/ math], entonces es el resultado de la multiplicación entre el vector de fila [math] j [/ math] -th row de [math] I_ {n \ times n} [/ math] y el [math] q [/ math] -th vector de columna de [math] A_ {n \ times n} [/ math], que sabemos que es [math] a_ {j, q} [/ math]. Así,
[matemáticas] c_ {i, q} = a_ {j, q} [/ matemáticas]
Similar,
[matemáticas] c_ {j, q} = a_ {i, q} [/ matemáticas]
Y, de lo que se concluyó anteriormente:
[matemáticas] c_ {p, q} = a_ {p, q} \ forall p \ neq i [/ matemáticas] o [matemáticas] j [/ matemáticas].
Esto prueba la afirmación.
Dejaré la prueba de la segunda afirmación al lector como un ejercicio.