¿Cómo se vincula el polinomio característico con el determinante de una matriz?

Dado que el polinomio característico de la matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] es [matemática] \ det (xI – A) [/ matemática], sustituyendo [matemática] x = 0 [ / math] en este polinomio, obtenemos [math] \ det (-A) = (-1) ^ n \ det (A) [/ math].

Por lo tanto, el coeficiente de [matemática] x ^ 0 [/ matemática] del polinomio característico de una matriz es el producto de [matemática] (- 1) ^ n [/ matemática] y el determinante de la misma matriz.

Esto, por cierto, también significa que el producto de los valores propios [matemáticos] n [/ matemáticos] (no necesariamente distintos) es igual al determinante de [matemáticos] A [/ matemáticos], ya que las raíces de [matemáticos] \ det ( xI – A) [/ math] son ​​precisamente los valores propios [math] n [/ math] [math] \ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n [/ math] de [math] A [/ math] (con posibles repeticiones). Por lo tanto, [math] \ det (xI – A) = (x- \ lambda_1) (x- \ lambda_2) \ ldots (x- \ lambda_n) [/ math], entonces [math] \ det (-A) = ( -1) ^ n \ det (A) = (-1) ^ n \ lambda_1 \ lambda_2 \ ldots \ lambda_n. [/ Math]