Es importante tener en cuenta qué tipo de matriz tiene y cómo creó. El caso más común sería una matriz de covarianza [matemática] H [/ matemática] hessiana o [matemática] C [/ matemática], ambas son simétricas positivas definidas o semi-definidas respectivamente. Y sobre todo los deseas en un formato triangular. Existe una factorización eficiente, que es muy sensible a los elementos diagonales, tomando solo esteras PD como entrada.
Mientras está en la red, encuentra métodos burdos que corrigen la diagonal por perturbación aleatoria o incluso por la costosa descomposición de Eigen. Fang y O’Leary examinan seis variaciones de Cholesky modificadas de dos ideas: familias Schnabel-Eskow (SE) y Gill-Murray-Wright (GMW). Los detalles se encuentran en el documento, el código C ++ / Matlab lo proporcionan los autores. El código Julia está en progreso (escríbame si necesita la versión Julia). Cheng y Higham visitan lo mismo en este artículo.
Estas ideas utilizan diferentes estrategias para modificar las entradas diagonales ofensivas y en qué medida. Pivotar, el reordenamiento de las filas / columnas original [matemática] C [/ matemática] matriz es común resultando: [matemática] P (A + E) P ‘= U’U [/ matemática] descomposición donde [matemática] P [/ matemática] es la matriz de permutación, E es el ajuste diagonal necesario. * *
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Al principio mencioné la importancia del tipo de matriz y cómo la obtuvo. En el caso de una matriz de covarianza [matemática] C [/ matemática] construida por lotes, normalmente se hace [matemática] C [/ matemática] [matemática] = MM ‘D [/ matemática] con el vector de columna [matemática] M [/ matemática] empaquetado características y diagonal [math] D [/ math] con valores [math] 1 / m [/ math]. Puede evitar por completo la operación cuadrada si [math] qr [/ math] descompone [math] M ‘. [/ Math] Como puede ver a continuación, en realidad no usaremos el ortogonal [math] Q [/ math] sino solo el matriz triangular superior (en realidad rectangular escasa con valores reales triangulares superiores).
Es porque:
[matemática] C = U’U [/ matemática] y [matemática] MM ‘D = C [/ matemática] de la definición.
[matemática] MM ‘D = U’U [/ matemática] y [matemática] QR = M’ [/ matemática]
[matemáticas] (QR) ‘QR D = U’U [/ matemáticas]
[matemática] R ‘(Q’Q) RD = U’U [/ matemática] tenga en cuenta que [matemática] Q [/ matemática] y [matemática] Q’ [/ matemática] son ortogonales, entonces [matemática] Q’Q = I [/ math] entonces
[matemáticas] R ‘IRD = U’U [/ matemáticas] también D es diagonal para que podamos reposicionarlo y sacar la raíz cuadrada [matemáticas] S’S = D [/ matemáticas]
[matemáticas] R ‘(S’S) R = U’U [/ matemáticas] reorganizado [matemáticas] R’S’ SR = U’U [/ matemáticas] tenemos
[math] (SR) ‘SR = U’U, entonces U [/ math] debe ser [math] SR. [/matemáticas]
Si la descomposición [math] qr [/ math] funciona para usted, no solo puede guardar flops sino que tampoco puede manejar la matriz de permutación [math] P [/ math].
Espero eso ayude.
* por favor, no que [matemáticas] P ^ {- 1} = P ‘[/ matemáticas]