¿Dónde aplican las personas determinantes de la matriz?

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¿Estás preguntando cuáles son las aplicaciones de una matriz determinante? Hay muchos que vienen a la mente de inmediato.

La aplicación más obvia se utiliza para invertir matrices. Una matriz de cofactores y el determinante le permitirán obtener el inverso de una matriz. Esto significa que es posible, por ejemplo, resolver ecuaciones diferenciales lineales. Sin embargo, el determinante será cero si las ecuaciones no son todas linealmente independientes, lo que significa que el conjunto de ecuaciones no tiene solución y que al menos una de las ecuaciones proporciona la misma información que alguna suma lineal de las otras ecuaciones. Por lo tanto, el determinante de que la matriz sea 0 es una forma de probar la dependencia lineal.

Por ejemplo, cuando se buscan soluciones linealmente independientes para la función complementaria de ecuaciones diferenciales lineales (es decir, la solución general de la ecuación homogénea), calcular el determinante de la matriz de Wronskian es una forma rápida de descubrir si realmente tiene o no Soluciones linealmente independientes. El determinante wronskiano también se puede usar, de una manera bastante inteligente, encontrará una segunda función complementaria si conoce la primera, a cualquier ecuación diferencial de segundo orden.

Para las matrices que el simétrico real (o simétrico de Hermit) luego de calcular los valores propios le permitirá diagonalizar la matriz, y también le permitirá calcular los vectores propios ortogonales. Los valores propios de cualquier matriz se encuentran calculando el determinante característico, que le da un polinomio en términos de valores propios. Las soluciones al polinomio característico son los valores propios.

Este es un método esencial para resolver los modos normales de un sistema generalizado, y también esencial en la Mecánica Cuántica donde los Operadores Hermitianos y los “vectores” de estado forman la base de lo que sabemos sobre la naturaleza.

El determinante de la matriz jacobiana es omnipresente y útil para transformar elementos de superficie diferenciales y elementos de volumen diferencial entre sistemas de coordenadas. El jacobiano es un determinante que permite realizar integrales sobre variables curvilíneas generalizadas que pueden ser no cartesianas.

El teorema de Taylor para funciones analíticas puede extenderse a funciones de varias variables. El hessiano de la función es cómo uno puede escribir el término de cambio de segundo orden en forma cuadrática. El determinante de la matriz de Hesse caracterizará así la naturaleza de un punto cuyo gradiente es cero. Puede usar el Hessian para distinguir entre puntos mínimos, máximos y de silla de montar, por ejemplo.

Además, el determinante de una matriz 3 × 3 es una forma útil para escribir el volumen de un paralelepípedo formado por 3 vectores. Si el determinante es 0, implica que el volumen es 0 y, por lo tanto, los vectores son coplanares, recuperando el resultado anterior de que, por lo tanto, deben ser linealmente dependientes. El producto triple escalar se usa con frecuencia para calcular los jacobianos, los volúmenes y, por supuesto, para calcular vectores recíprocos que son siempre útiles cuando se estudian las redes y sus transformadas de Fourier. Ubicuo en cristalografía, difracción de rayos X / electrones de cristales, las matemáticas de la física de la materia condensada y la química de estado sólido, en particular el estudio de los fonones y electrones en materiales cristalinos.

El producto vectorial (producto cruzado) de dos vectores se puede expresar en forma determinante. El producto vectorial surge en muchas ecuaciones de física natural, particularmente el electromagnetismo y la mecánica rotacional, cinemática y dinámica, y fuerzas ficticias como la fuerza coriólica y centrífuga. También es una forma de expresar el operador de rizo. Sin embargo, el producto vectorial y la curvatura de un campo vectorial también se pueden escribir de otras formas.

Los determinantes de las matrices, en resumen, son cantidades importantes increíbles. Sus propiedades deben ser memorizadas. Lo usamos todo el tiempo en álgebra lineal, cálculo de varias variables y cálculo vectorial. Ningún científico hace mucho trabajo sin usar un determinante de vez en cuando.