¿Por qué el producto cruzado de dos vectores es perpendicular al plano en el que residen?

Answer 1

Respuesta corta: el vector perpendicular resultante mantiene nuestra notación lo más compacta posible mientras preserva todas las propiedades que nos interesan para este tipo de operación.

Comenzaré señalando que una forma de representar geométricamente un producto cruzado es con un paralelogramo formado por los dos vectores iniciales. Me gusta esta representación porque manifiesta por qué el producto cruzado es una extensión de nuestra idea ordinaria de multiplicación.

La magnitud del producto cruzado es solo el área del paralelogramo. En lo que respecta al producto cruzado, lo único que necesitamos saber sobre el paralelogramo es su orientación en el espacio. Y podemos representar eso más económicamente con una sola línea perpendicular al plano en el que se encuentra el paralelogramo (siga adelante y trate de encontrar la manera de hacerlo con cualquier otra línea única y sin información adicional).

Entonces, nuestra representación consiste en una magnitud y una línea orientada. Este concepto es tan cercano al de un vector, que es el concepto con el que comenzamos como entradas para nuestra operación, ¡que tal vez deberíamos ver qué sucede si lo forzamos a ser uno!

Y podemos hacerlo simplemente eligiendo arbitrariamente una de las dos direcciones permitidas por la línea que acabamos de descubrir. Por convención, utilizamos la regla de la mano derecha para tomar esa decisión y que sus resultados coincidan con los míos.

Ahora nuestra representación consiste en una magnitud y dirección, y eso, por supuesto, es un vector. Solo así, hemos establecido una equivalencia limitada entre un paralelogramo y un vector.

Como cualquier equivalencia, esta nos permite reducir la complejidad del mundo. lo que parecían ser dos tipos de objetos que podemos tratar como uno, al menos con el propósito de tomar el producto cruzado, y siempre y cuando no nos importe la introducción de una pequeña convención.

Answer 2

Antes que nada, déjenme responder una pregunta diferente, ¿por qué el producto cruzado de dos vectores es un vector?

Porque el producto cruzado de dos vectores se comporta como un vector.

es decir, es un conjunto de tres números que, cuando giras los ejes, cambian exactamente como esperarías que cambiara un vector.

Ahora, ¿por qué el producto cruzado es perpendicular al plano de dos vectores? En el sistema de coordenadas xyz, si considera dos vectores en el plano xy, y luego toma su producto cruzado, se encuentra que, al girar los ejes xy (solo los ejes x e y, no el z), por un ángulo fijo (digamos 30 grados), el producto cruzado de estos dos vectores no cambia . Eso significa que el producto cruzado debe ser un escalar o un vector a lo largo de la dirección z. (Piénselo, rotar los ejes xy sobre el eje z no afectará la forma en que escribimos un vector a lo largo de la dirección z). Como hemos establecido que el producto cruzado es un vector, por lo tanto, es un vector a lo largo de la dirección z, es decir, en la dirección perpendicular al plano xy.

El producto cruzado, como lo conoce, se define solo para el espacio tridimensional. Esto tiene que ver con el hecho de que, un plano formado por dos vectores en tres dimensiones, tiene una dirección única que es perpendicular a él. (Si trata de visualizar, verá que esto no es cierto para, digamos, un espacio de cuatro dimensiones. Habrá dos direcciones separadas y únicas que son perpendiculares a un plano dado en 4-D. Estas dos direcciones mismas serán perpendiculares entre sí.) Sin embargo, es posible definir algo similar en el espacio 7-D.

Recordé haber leído una demostración muy agradable en The Feynman Lectures on Physics, que muestra el producto cruzado como tres números necesarios para definir un tensor antisimétrico, y que se comportan como un vector. Mira estos capítulos: Rotación en el espacio; Las conferencias de Feynman sobre física vol. II Ch. 31: tensores

Consulte también la página de Wikipedia sobre el producto cruzado: producto cruzado

Answer 3

Me gusta ver esto desde el punto de vista algo más sofisticado del álgebra geométrica. Cuando tomas el producto geométrico de dos vectores 1, obtienes un vector 0 (un escalar) y un vector 2 (un parche de área orientado en el plano de los dos vectores). El vector 0 es el producto escalar. En 3 dimensiones (¡SOLO!), El parche de área puede equipararse a un vector 1 con dirección perpendicular a la superficie y longitud proporcional al área. Este es el “producto cruzado”. Es perpendicular al plano que contiene los otros 2 vectores por definición.

Sin embargo, tenga en cuenta que el producto cruzado no se comporta como un vector 1 normal (porque NO ES uno). Se invierte de manera diferente, se escala de manera diferente e incluso las unidades están equivocadas (si sus vectores 1 están en metros, su producto cruzado debería tener unidades de metros cuadrados). Tratar de llamarlo uno lleva a tener que distinguir “vectores” de “vectores axiales” y otra terminología confusa. En un espacio N-dimensional, un vector N es un pseudoescalar, un vector (N-1) es un pseudovector, por lo que el producto cruzado (nuevamente, SOLO en 3 dimensiones) es un pseudovector.

Answer 4

Esto tiene que ver con cómo se comporta el producto cruzado bajo transformaciones de coordenadas.

Una de las propiedades definitorias de un vector es que se transforma exactamente de la misma manera que las coordenadas . Ahora considere dos vectores en el espacio tridimensional cuyo producto cruzado ha calculado.

Ahora supongamos que el plano [matemático] xy [/ matemático] gira alrededor del eje [matemático] z [/ matemático] en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático]. Entonces, obviamente, el componente [math] z [/ math] de cualquier vector seguirá siendo el mismo, mientras que los componentes [math] x [/ math] y [math] y [/ math] cambiarán.

Pero si verifica los componentes del producto cruzado calculados en el nuevo eje de coordenadas, observará lo siguiente:

1. El ‘componente’ [matemático] xy [/ matemático] del producto cruzado es el único que no cambia. ¡Esto significa que la dirección del componente [matemático] xy [/ matemático] del producto transversal está a lo largo del eje z, es decir, en una dirección perpendicular al plano [matemático] xy [/ matemático] !!!
2. El componente [math] yz [/ math] se transforma de la misma manera que la coordenada [math] x [/ math]. Esto significa que apunta a lo largo del eje x, perpendicular al plano [matemático] yz [/ matemático].
3. El componente [math] zx [/ math] se transforma de la misma manera que la coordenada [math] y [/ math]. Esto significa que apunta a lo largo del eje [math] y [/ math], perpendicular al plano [math] zx [/ math].

Esta es la razón por la que el producto cruzado de dos vectores es perpendicular al plano en el que se encuentran. En otras palabras, mantener el producto cruzado perpendicular a los dos vectores es la única forma de que el álgebra se pueda mantener consistente para el producto cruzado.

Si está interesado en la derivación completa, consulte:

La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Cómo se llega a la fórmula con la que se calcula el producto cruzado?

Answer 5

La definición del producto cruzado de vectores tridimensionales [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {b} [/ math] es

[math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {x} & \ mathbf {y} & \ mathbf {z} \\ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { x} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z} \\ \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y} y \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z} \ end {vmatrix} [/ math]

donde [math] \ {\ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z} \} [/ math] es una base ortonormal derecha para [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math ]

Esencialmente, la pregunta pide demostrar que

[math] \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = 0. [ /matemáticas]

Descartando el hecho de que lo anterior es una de las propiedades del producto triple escalar por “¿lo es? ¡entonces pruébalo! ”, aquí está la prueba de la declaración anterior. De hecho, solo probaré [math] \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = 0 [/ math]; la otra declaración [math] \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) [/ math] tiene una prueba prácticamente idéntica.

Prueba:

[matemáticas] \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) [/ math]

[math] = \ mathbf {a} \ cdot \ begin {vmatrix} \ mathbf {x} & \ mathbf {y} y \ mathbf {z} \\ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z} \\ \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z} \ end {vmatrix} [/ math]

[math] = \ mathbf {a} \ cdot \ Big (\ mathbf {x} \ big ((\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y}) \ big) – \ mathbf {y} \ big ((\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x}) \ big ) + \ mathbf {z} \ big ((\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { y}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x}) \ big) \ Big) [/ math]

[math] = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {z}) + (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x}) + (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {x}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {y}) – (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {z}) (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {y}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {x}) [/ math]

[matemática] = 0 [/ matemática], ya que cada término se cancela. [matemática] \ quad \ square [/ matemática]

Answer 6

Me gustaría verlo de esta manera. Si bien la magnitud de cualquier cantidad es un concepto conocido y se utiliza en la vida cotidiana desde tiempos inmemoriales. Más adelante en el avance de las matemáticas, surgió la necesidad de incluir una variable adicional. Cuando uno dice que un edificio mide 40 pies y una bobina de alambre también mide 40 pies, significan dos cosas diferentes. Una es una cosa lineal (longitud) y otra es una cosa vertical (altura). Así, el concepto de vector evolucionó en las matemáticas. En muchas aplicaciones, la expresión “perpendicular a” tiene que usarse para describir ciertas características. La pregunta es cómo incorporar esto en las matemáticas. Dado que la matemática vectorial es esencialmente un “concepto basado en la dirección”, fue útil para este propósito. La respuesta directa a su pregunta es bastante difícil de encontrar, como alguien que le pregunta, por qué su nombre es xxxxx. Como lo da otra respuesta en este foro, mientras que un solo vector (unidimensional) se describe como una línea con una dirección asociada a él y una combinación de dos vectores, un plano, la extensión lógica será hacer una pregunta sobre cómo se puede definir una dirección perpendicular al plano (normal) en el espacio vectorial. Esto, en mi opinión, podría haber dado lugar al concepto de producto cruzado en su etapa primitiva. Desearía ser un historiador matemático para responder a su pregunta con mayor autoridad

Answer 7

Un producto cruzado es un concepto humano definido de multiplicar 2 vectores. Implica tomar el valor absoluto de dos vectores, multiplicarlos y luego multiplicar esto por el seno del ángulo entre los dos vectores.

Answer 8

El producto cruzado de 2 vectores está en la dirección perpendicular a ambos vectores. Y el vector de área de cualquier superficie se define en una dirección perpendicular a esa superficie, por lo que el producto Cross proporciona un vector cuya dirección es perpendicular a ambos vectores, así como su magnitud es igual al área de paralelogramo cuyos lados adyacentes son esos 2 vectores.

Puede que no haya ninguna razón para eso, podría haberse descubierto que es igual al área de II0gm.