Supongamos que [math] A [/ math] y [math] B [/ math] sean dos matrices invertibles [math] n \ times n [/ math]. Antes de probar la identidad [matemáticas] (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ matemáticas], primero debemos asegurarnos de que [matemáticas] (AB) ^ {- 1} [/ math] está bien definido, en otras palabras, tenemos que mostrar que la matriz [math] AB [/ math] es invertible.
Dada cualquier matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] X [/ matemática], [matemática] X [/ matemática] es invertible si y solo si la dimensión del espacio nulo de [matemática] X [/ math], [math] \ text {null} (X) [/ math], es cero. En otras palabras, la única solución para [math] Xy = \ mathbf {0} [/ math] es [math] y = \ mathbf {0} [/ math].
Deje [math] x \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Suponga que [math] (AB) x = \ mathbf {0} [/ math]. Luego tenemos [math] A (Bx) = \ mathbf {0} [/ math] y [math] Bx \ in \ text {null} (A) [/ math]. Como [math] A [/ math] es invertible, tenemos [math] \ text {null} (A) = \ {\ mathbf {0} \} [/ math] y, por lo tanto, [math] Bx = 0 [/ math ] Como [math] Bx = 0 [/ math], tenemos [math] x \ in \ text {null} (B) [/ math]. Pero como [math] B [/ math] es invertible, tenemos [math] \ text {null} (B) = \ {\ mathbf {0} \} [/ math]. Por lo tanto, tenemos [math] x = \ mathbf {0} [/ math]. Por lo tanto, [math] (AB) x = \ mathbf {0} [/ math] implicaría que [math] x = \ mathbf {0} [/ math]. Del argumento anterior podemos concluir que la dimensión de [math] \ text {null} (AB) [/ math] es cero y [math] AB [/ math] es invertible. Tenga en cuenta que en todos los lugares donde he usado [math] \ mathbf {0} [/ math], [math] \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math], un vector cero en [matemática] n [/ matemática] espacio dimensional, no un escalar [matemática] 0 [/ matemática].
Ahora mostramos que [matemáticas] (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] B ^ {- 1} A ^ {- 1} [/ math] es el inverso de [math] AB. [/ math] Necesitamos demostrar que [math] (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) (AB) = I [/ math] y [ matemáticas] (AB) (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) = I [/ matemáticas].
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Considere [matemáticas] (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) (AB) [/ matemáticas]. Como la multiplicación matricial es asociativa, tenemos,
[matemáticas] (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) (AB) = B ^ {- 1} (A ^ {- 1} (AB)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = B ^ {- 1} ((A ^ {- 1} A) B) [/ matemáticas]
[matemáticas] = B ^ {- 1} (IB) = B ^ {- 1} B = I [/ matemáticas].
Ahora, considere el producto [matemática] (AB) (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) [/ matemática]. Al usar la ley asociativa nuevamente, tenemos,
[matemáticas] (AB (B ^ {- 1} A ^ {- 1}) = A (B (B ^ {- 1} A ^ {- 1})) [/ matemáticas]
[matemáticas] = A ((BB ^ {- 1}) A ^ {- 1}) = A (IA ^ {- 1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = AA ^ {- 1} = I, [/ matemáticas] y hemos terminado.
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
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