¿Cómo funciona el [math] \ lim_ {x \ to \ infty} {(1+ \ frac {1} {x})} ^ {x} = e [/ math]?

Answer 1

Considere que depositó Rs 1 en un banco cuya tasa es del 100%. La cantidad que obtienes después de 1 año

(i) Compuesto anualmente es

[matemáticas] A_1 = P (1+ \ frac {R} {100}) ^ T = 1 (1+ 1) ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

(ii) Compuesto semestralmente

[matemáticas] A_2 = P (1+ \ frac {R} {200}) ^ {2T} = 1 (1+ \ frac {1} {2}) ^ 2 = 2.25 [/ matemáticas]

(iii) Compuesto diariamente:

[matemáticas] A_3 = P (1+ \ frac {R} {36500}) ^ {365T} = 1 (1+ \ frac {1} {365}) ^ {365} = 2.714567482 [/ matemáticas]

Claramente, está aumentando, pero ¿aumentará rápidamente hasta el infinito si aumentan los tiempos compuestos?

(iv) Compuesto 10,000 veces:

[matemáticas] A_4 = P (1+ \ frac {R} {1000000}) ^ {10000T} = 1 (1+ \ frac {1} {10000}) ^ {10000} = 2.718145927 [/ matemáticas]

Se puede ver que se está acercando a un límite finito a medida que aumenta el número de veces.

Este valor límite se define como [math] e [/ math].

[matemáticas] A_n = (1+ \ frac {1} {n}) ^ n [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} A_n [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {n}) ^ n [/ matemáticas]

= [matemáticas] e [/ matemáticas]

Answer 2

Estás usando las leyes de los logaritmos de forma incorrecta.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ {\ ln \ left ( 1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x} = \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ {x \ ln \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right)} [ /matemáticas]

Ahora veamos el exponente. Si conocemos el límite del exponente, sabemos cuál es la potencia de ese límite. Tendremos que usar la regla de l’Hospital una vez para evaluar una fracción de estilo [matemática] \ frac {0} {0} [/ matemática].

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x \ ln \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {\ ln \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right)} {\ frac {1} {x}} \ overset {\ frac {0} {0}} {=} \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {- \ frac {1} {x ^ 2} \ frac {1} {1+ \ frac {1} {x}}} {- \ frac {1} {x ^ 2}} = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {1+ \ frac {1} {x}} = 1 [/ math]

El límite del exponente es 1, por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ lim_ {x \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e} [/ math]

Gracias por el A2A.

Answer 3

Antes de considerar [math] e [/ math], deberíamos considerarlo en el contexto de su uso, es decir, como una base exponencial muy buena para varios cálculos: [math] e ^ {x} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {n} \ right) ^ {n} [/ math]. Wikipedia tiene un buen artículo para la caracterización de [matemáticas] e ^ {x} [/ matemáticas]: Caracterizaciones de la función exponencial – Wikipedia

Puede comenzar con el límite como su caracterización o deshabilitar cualquiera de las otras cinco caracterizaciones de [matemáticas] e [/ matemáticas] con las que podría comenzar en lugar de deducir su límite.

Answer 4

Si diferencia [math] \ ln x [/ math] usando los primeros principios, encontrará que

[matemática] \ frac {d} {dx} \ ln x = \ frac {1} {x} [/ matemática] solo si [matemática] \ lim \ limits_ {u \ to \ infty} (1 + \ frac {1 } {u}) ^ u = e [/ matemáticas].

Revisé este ejercicio en la respuesta de Gregory Schoenmakers a ¿Cómo demuestras (1 + 1 / x) ^ x = e sin usar integrales?

Tenga en cuenta que [math] (1 + \ frac {1} {x}) ^ x \ ne 1 + \ frac {1} {x} ^ x [/ math]

y [matemáticas] 1 + \ frac {1} {x} ^ x \ ne e ^ {1 + \ frac {1} {x} \ ln (x)} [/ matemáticas]

Answer 5

1 forma de poder infinito. f (x) = 1 + 1 / x y g (x) = x

Answer 6

Eras un poco flojo con tus registros.

La ecuación correcta es

[matemáticas] \ displaystyle \ left (1+ \ frac 1x \ right) ^ x = e ^ {x \ ln \ left (1+ \ frac 1x \ right)} [/ math].

Después de esto, puedes reescribir el exponente como

[matemáticas] \ displaystyle x \ ln \ left (1+ \ frac 1x \ right) = \ frac {\ ln \ left (1+ \ frac 1x \ right)} {\ frac 1x} [/ math]

y usa la regla de L’Hopital.