¿Por qué una conversión digital a analógica da la atenuación [matemática] \ frac {sin (\ frac {\ omega T} {2})} {\ frac {\ omega T} {2}} [/ matemática] en el dominio de frecuencia ?

Answer 1

La función sinc

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ frac {sin (\ frac {\ omega T} {2})} {\ frac {\ omega T} {2}} [/ math]

es la transformada de Fourier de la función rectangular en el dominio del tiempo:

Creo que puedo dar una explicación intuitiva para esto.

Probablemente haya visto esta ‘explicación de Fourier de una oración’ antes:

Entonces, con un análogo mecánico, puede calcular un componente de Fourier, extendiendo una señal alrededor de una mesa de madera que cuelga del techo e inspeccionando dónde está el centro de masa de la señal.

Específicamente para la función rectangular, esto se puede visualizar de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que la función rectangular puede verse como una onda de bloque que se extiende cada vez más en el disco de madera de esta unidad.

1. En la imagen central, la función rectangular (función RECT) aún no se extiende sobre la mesa circular. El centro de masa se encuentra muy por detrás del centro de la mesa (visto desde nuestra perspectiva). Este es el lóbulo positivo central de la función sinc.
2. En la siguiente imagen, la función RECT está más extendida, sin embargo, el centro de masa todavía se encuentra detrás del centro de las tablas. Así que todavía estamos en el lóbulo positivo del seno, pero algo más bajo que antes.
3. En la tercera imagen, la función RECT se extiende casi por igual alrededor de la mesa. Su centro de masa casi coincide con el centro de las tablas, por lo que todavía estamos en el lóbulo positivo, pero casi en y = 0.
4. En la cuarta imagen, las esquinas de la función RECT ya se han encontrado, y ya están a medio camino de regreso a donde vinieron. La parte principal de la RECT se cancela a sí misma (la ronda completa). Sin embargo, la mesa ahora se inclinará hacia nosotros, porque a nuestro lado de la mesa, la señal está presente dos veces. El centro de masa se encuentra a nuestro lado, por lo que estamos en el lóbulo negativo de la función SINC.
5. En la quinta imagen, las esquinas de la función RECT se han encontrado nuevamente en la parte posterior de la tabla. Las dos rondas completas tienen una contribución neta a la inclinación de la mesa de cero: el centro de masa se encuentra en el centro de las mesas.

Este proceso se ilustra para una secuencia discreta en la animación a continuación:

Answer 2

Supongamos que tenemos una señal digital x muestreada a la frecuencia de muestreo fs.

El espectro de x es periódico con el período fs. En otras palabras, si toma la FFT de x, las líneas espectrales contenidas en la banda 0 a fs se repetirán para siempre con la misma amplitud en el intervalo fs.

Supongamos ahora que tenemos un DAC teórico capaz de producir para cada muestra de pulso xa similar al Delta de Dirac. Las salidas DAC existen solo en el momento t = nT (donde T = 1 / fs yn es un número entero) y son 0 en cualquier otro lugar.
Si verificamos con un analizador espectral la salida del DAC, veremos que el espectro es el mismo que el espectro digital: se repetirá para siempre.

En realidad, tal DAC no existe. Los DAC reales producen pulsos con una duración T.

Esto equivale a decir que el DAC interpola la señal digital, disponible solo en el momento nT, manteniéndola hasta que la próxima muestra esté disponible.

¿Cuál es la función de transferencia de este interpolador muy simple? La función de transferencia es

[matemáticas] H (\ omega) = \ dfrac {sin (\ dfrac {\ omega T} {2})} {\ dfrac {\ omega T} {2}} [/ matemáticas]

En el gráfico, la función sinc se representa frente a [math] \ dfrac {\ omega T} {2} [/ math]. La función sinc tiene una característica de filtro de paso bajo.

En el dominio de la frecuencia, interpolar una señal manteniéndola durante un tiempo T es equivalente a filtrarla en paso bajo con un filtro cuya función de transferencia es la función sinc.

Esto significa que el espectro en la salida del DAC se obtiene multiplicando la función sinc por el espectro de la señal digital [math] X (\ omega) [/ math]:

[matemáticas] X_ {DAC} (\ omega) = H (\ omega) X (\ omega) [/ matemáticas]

Como sinc tiene ceros para [math] \ omega = k2 \ pi fs, [/ math] con k = 1,2,3,4 …, el espectro de salida DAC también tendrá ceros en las mismas frecuencias.

Answer 3

Una función sinc es la “Ventana” ideal de cualquier función de muestreo que sea “rectangular” en el tiempo, es decir, muestrea y mantiene una señal analógica a un valor constante durante un intervalo T y luego repite en el siguiente nivel analógico. Como así es como todos los ADC funcionan o se supone que funcionan, obtienes funciones sinc casi todo el tiempo en las funciones de transferencia sin formato.

Desde la página Wiki del teorema de muestreo Nyquist-Shannon:

El símbolo T = 1 / fs se usa habitualmente para representar el intervalo entre muestras y se denomina período de muestra o intervalo de muestreo. Y las muestras de la función x (t) se denotan comúnmente por x [n] = x (nT) (alternativamente “xn” en la literatura de procesamiento de señales anterior), para todos los valores enteros de n. Una forma matemáticamente ideal de interpolar la secuencia implica el uso de funciones sinc. Cada muestra en la secuencia se reemplaza por una función sinc, centrada en el eje de tiempo en la ubicación original de la muestra, nT, con la amplitud de la función sinc escalada al valor de la muestra, x [n]. Posteriormente, las funciones sinc se suman en una función continua. Un método matemáticamente equivalente es convolucionar una función sinc con una serie de pulsos delta de Dirac, ponderados por los valores de la muestra. Ninguno de los métodos es numéricamente práctico. En cambio, se utiliza algún tipo de aproximación de las funciones sinc, de longitud finita. Las imperfecciones atribuibles a la aproximación se conocen como error de interpolación.

Estas “aproximaciones” son la función de ventana estándar con la que se encuentra en el procesamiento de señales digitales: Flat Top, Triangular, Parzen, Welsh, Barlett, Hanning, Hamming, Blackman, Poisson, Gaussian, Cosine, etc. Notará que todas pueden ser visto como aproximaciones de una función sinc.