tl; dr: con un ejemplo cuidadosamente pensado que no menciona la palabra derivada hasta que trabajan con usted en el proceso de pensamiento.
La derivada es una función que realiza un seguimiento de la tasa de cambio de otra función. Nunca me gustó la definición formal: se siente como un policía porque no es intuitivo lo que implica inicialmente, lo que creo que le quita el aprendizaje. Recuerde que, como maestro, está actuando para un grupo de estudiantes para que los temas sean más fáciles de entender. Si repite lo que dice el libro de texto, todo lo que puede hacer es responder algunas preguntas que tengan sobre la definición formal. Presente primero la intuición, muestre cómo se aplica a la definición formal y las preguntas sobre cuál es la derivada nunca deberían venir si lo hace bien. Como intérprete, te siguen en un viaje lógico.
Si un automóvil va de un lugar a otro, tiene que tener algún tipo de velocidad en su camino. Si está realizando un seguimiento de lo lejos que está de su hogar, lo llamaremos su desplazamiento, y puede ver que más adelante su gráfico se vuelve más pronunciado y más rápido, puede introducir la noción de que tal vez pueda realizar un seguimiento de qué tan rápido va el automóvil en todo momento, como un policía molesto con un velocímetro que realmente quiere atraparlo yendo demasiado rápido.
Manténgalo en álgebra simple al principio. La distancia del automóvil desde su casa se puede modelar con tal y tal ecuación, probablemente x ^ 2 es lo suficientemente simple. Luego, realice un seguimiento de su velocidad promedio, como si el automóvil avanzara 0 mph al principio, y luego a 100 mph 10 minutos más tarde. “La velocidad promedio, con lo que ustedes quizás hayan estado familiarizados en problemas de álgebra, es útil cuando van a un ritmo vertiginoso, pero eso generalmente no sucede en la vida real. Si alguna vez han manejado con sus padres para Costco, sabes que no recorriste 10 mph todo el tiempo, eso es como un caminante de velocidad en el mejor de los casos. Fuiste un poco lento durante mucho tráfico, y cuando llegaste a la autopista lo registraste a una velocidad de conducción ilegal. Pero no fue lo mismo todo el tiempo. Entonces, ¿cómo podríamos ser más precisos acerca de qué tan rápido ibas todo el camino? ”
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Luego puede introducir velocidades promedio en distancias cada vez más pequeñas. “Así que echémosle un vistazo durante más de un minuto en lugar de durante todo el viaje. Desde los 5 minutos en su viaje hasta los 6 minutos, viajaba a una velocidad muy alta. Es más preciso para esa área, pero aún no está del todo bien”. Luego, ingrese al territorio que confunde a la mayoría de los estudiantes: realice un seguimiento de la tasa de cambios durante un tiempo muy pequeño para cada punto. Asegúrese de mencionar que aquí es donde se vuelve un poco más abstracto, pero sigue la misma idea que hemos estado intentando. No quieres perderlos.
“Por lo tanto, medio minuto se vuelve aún más preciso. Esto implica que cuanto más pequeña sea la distancia y el tiempo que usamos, mejor hacemos un seguimiento de lo rápido que vamos. Lo que me parece la parte más difícil de esto es que técnicamente, puedes seguir haciéndote más pequeño. Hola, dame el número más pequeño que se te ocurra. Agregaré un 0 al principio. ¿Y tú? Agregaré otro 0. No puedes vencerme. Entonces, llamemos al número más pequeño que podamos pensar en H. Realizaremos un seguimiento de la rapidez con la que avanzamos en el tiempo h, y definitivamente no podemos ser más precisos si esa es la menor cantidad de tiempo.
Entonces, en lugar de pasar más de un minuto o medio minuto, pasaremos h minutos, la menor cantidad de tiempo. Bueno, veamos qué estamos haciendo de manera más general. Comenzaremos en un lugar aleatorio x ^ 2. Así que esto es como el valor y de la función, y realiza un seguimiento de cuán lejos está en cualquier momento. Luego tomamos donde estamos y verificamos dónde estamos h minutos más tarde, por lo que será (x + h) ^ 2. Luego dividimos por la cantidad de tiempo que pasamos para llegar allí, en este caso h. Tenga en cuenta que esta es solo la velocidad promedio durante un período de tiempo realmente pequeño establecido de manera más general para el automóvil (asegúrese de señalar y aclarar esto). Ahora, según nuestra teoría, esto debería darnos la tasa de cambio en una distancia increíblemente pequeña, lo que significa que veremos nuestra velocidad exacta en cualquier momento que nos conectemos a x. Si conectamos 3 a esto, veremos qué tan rápido vamos tres minutos después de que salimos de casa. Y lo bueno de las matemáticas es que cuando algo parece más complicado, puedes simplificarlo en otra cosa. Así que simplifiquemos esta expresión y veamos si es más fácil trabajar con ella “.
(Simplifíquelo y explique sus pasos. No necesitan resolverlo ellos mismos si tienen una buena formación en álgebra).
“Muy bien, al final obtenemos 2x + h. Esto es exactamente lo mismo que la tasa de cambio promedio (apunte a (x ^ 2 + (x + h) ^ 2) / h), pero simplificado. Entonces si conectamos 5, vemos que cinco minutos desde que salimos de casa fuimos exactamente a 10 millas por hora, más un pequeño exceso de la h. Dado que la h es básicamente el número más pequeño posible, es irrelevante para nuestra respuesta, y podemos prácticamente deshacerse de él. Así que vemos que nuestra tasa de cambio en cada punto va a estar representada por 2x, y esto, amigos míos, es la derivada de x ^ 2. Es decir, 2x es una ecuación que hace un seguimiento de la tasa de cambio de x ^ 2 en cada punto. Ahora que sabemos cómo obtener la derivada para esto, tratemos de hacerlo más general, para cualquier función f (x). Así que tomamos … ”
Y a partir de aquí, puede introducir la definición formal de la derivada. Básicamente te di tu lección. Si ya enseñó límites (supongo que sí), puede usar eso en el ejemplo del automóvil si lo desea. Tenga en cuenta que tuve mucho cuidado al hacer saltos lógicos de una cosa a otra, y me aseguré de reintroducir temas cuando fuera necesario. Soy un estudiante de secundaria y he estado dando clases particulares por un tiempo. El cálculo es bastante fácil, pero debes asegurarte de que los estudiantes entiendan los fundamentos como intuición. Las definiciones formales rara vez hacen eso. ¿Has visto la definición formal de un límite? Sí, totalmente útil para que lo vean los estudiantes.
Después de eso, puede introducirlo como la pendiente de la línea tangente. “Si siguieras a esa velocidad en este punto, harías una línea tangente. Una distinción que debes hacer es que la pendiente de la línea tangente es tu tasa de cambio, como en la velocidad en este caso, y la la línea real es tu camino si sigues yendo a esa velocidad “.
Espero que esto haya ayudado. ¡Buena suerte!