¿Qué sucede cuando un potencial arbitrario se establece en una carcasa esférica que contiene una esfera conductora cargada en su centro?

Answer 1

Suponga que el potencial en el infinito es cero, igual que el suelo. También voy a suponer que puedes usar la Ley de Gauss. Aunque no se indica explícitamente, supongo que se supone que el shell es un conductor.

Si el caparazón flotara libremente, entonces no habría carga neta (porque no hay lugar para que la carga provenga). Sin embargo, las cargas en la carcasa pueden moverse y, de hecho, se mueven de tal manera que no hay carga dentro del material de la carcasa conductora. Habrá algo de carga en la superficie interior de la carcasa, y una cantidad igual y opuesta de carga en la superficie exterior de la carcasa. Puede usar la Ley y la simetría de Gauss para determinar la cantidad de carga involucrada.

Cuando aterriza el shell, no puede haber campo fuera del shell (ya que el shell y el infinito ahora tienen el mismo potencial). Pero todavía hay un campo dentro del caparazón (desde la carga interna), por lo que debe haber algún flujo de carga desde el suelo hacia el caparazón, o viceversa, de tal manera que el campo exterior sea cero. De nuevo, la Ley de Gauss al rescate.

Ahora levante la carcasa a un voltaje [matemático] V_ {1} [/ matemático]. Recuerde que las cargas y los campos solo se preocupan por la diferencia de potencial, no por el potencial absoluto, por lo que las cargas y los campos dentro del caparazón siguen siendo los mismos. (Por ejemplo, si la esfera cargada estuviera en potencial [matemática] V_ {s} [/ matemática] en el caso de la carcasa con conexión a tierra, ahora está en [matemática] V_ {s} + V_ {1} [/ matemática]. ) Sin embargo, habrá un cambio de carga en la superficie externa de la carcasa, ya que ahora debe haber un campo eléctrico fuera de la carcasa para corresponder a la diferencia de potencial entre la carcasa y el infinito. Una vez más, puede usar la Ley de Gauss, esta vez para mostrar que el campo causado por la carga en el exterior de la esfera es exactamente el mismo que si la carga se concentrara en un punto en el centro. Ahora tome esta información y la fórmula para el potencial de una carga puntual y calcule cuál debe ser la carga para que el potencial sea [math] V_ {1} [/ math] en el radio del caparazón.

Answer 2

Si el circuito está completo, la carcasa esférica se comportará como un condensador. El circuito consta de un condensador que está en serie con una fuente de CC. Por lo tanto, la carga seguirá aumentando hasta Q = CV donde C viene dada por una fórmula fija para la carcasa esférica. La porción externa estará cargada positivamente y la interna estará cargada negativamente.

Answer 3

Usa el principio de superposición.

El potencial para [math] r \ geq a [/ math] debido a la esfera interna es

[matemáticas] V_I (r \ geq a) = \ frac {Q_1} {4 \ pi \ epsilon_0 r} [/ matemáticas]

El potencial para [math] r \ geq b [/ math] debido a la capa externa es

[matemáticas] V_ {II} (r \ geq b) = \ frac {Q_2} {4 \ pi \ epsilon_0 r} [/ matemáticas]

donde [math] Q_2 [/ math] es la carga total en la capa externa. El potencial total en la capa externa es entonces

[matemáticas] V (b) = V_I (b) + V_ {II} (b) = \ frac {Q_2 + Q_1} {4 \ pi \ epsilon_0 b} = V_1 [/ matemáticas]

Es decir, la carga total en la carcasa externa es

[matemáticas] Q_2 = 4 \ pi \ epsilon_0 b V_1 – Q_1 [/ matemáticas]

Para determinar cuánto de esta carga está en la superficie interna, utilizamos la forma integral de la Ley de Gauss. El campo eléctrico dentro de la carcasa exterior debe ser cero. Entonces, si configuramos una superficie esférica [matemáticas] D [/ matemáticas] dentro de este caparazón (que encierra la esfera interna y la superficie interna del caparazón), entonces necesitamos

[math] \ iint_D \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = \ frac {Q_ {encl}} {\ epsilon_0} = 0 [/ math]

donde [math] Q_ {encl} [/ math] es la carga entre [math] D [/ math], que es [math] Q_1 [/ math] más la carga total [math] Q_ {in} [/ math ] en la superficie interna de la carcasa. Pero esta ecuación nos dice que la carga total cerrada es cero. Entonces,

[matemáticas] Q_ {en} = -Q_1 [/ matemáticas]

y la carga en la superficie exterior de la carcasa es

[matemáticas] Q_ {out} = 4 \ pi \ epsilon_0 b V_1 [/ matemáticas]

Ahora que tiene toda la carga contabilizada, calcular los potenciales y los campos en las diferentes regiones es fácil.