La Ley de Ohm se establece originalmente en términos de campos eléctricos y magnéticos, que es la base fundamental de todos los efectos eléctricos y magnéticos. Obviamente, desde el punto de vista de la ingeniería, es posible que no regresemos a los campos en todos los casos, pero para establecer un principio fundamental relacionado con la electricidad o sus efectos (y también para el magnetismo) uno debe volver a las Ecuaciones de Maxwell y sus principios asociados para establecer una matemática firme plataforma desde donde se lleva a cabo una mayor simplificación.
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Definición del corolario (más familiar)
En el nivel secundario, la expresión muy familiar de la Ley de Ohm se establece como una relación entre el voltaje y la corriente. El parámetro constante que se interpone entre ellos se llama Resistencia. Se declara de la siguiente manera:
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[matemáticas] \ hspace {7.5cm} \ grande V = I \ veces R [/ matemáticas]
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Pero como dije antes, el voltaje y la corriente pueden verse fundamentalmente en términos de sus definiciones en bruto. La corriente se puede visualizar como una corriente de electrones (teniendo en cuenta la geometría de dicho flujo) mientras que el voltaje se puede ver en términos de campo eléctrico (el gradiente de potencial es un campo eléctrico).
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La imagen de arriba se agrega para dar una idea del efecto geométrico del flujo de corriente. La corriente de extremo a extremo puede ser la misma, es decir, la tasa de flujo de carga por unidad de tiempo seguirá siendo la misma (si se aplica un potencial constante). Pero como las geometrías seccionales difieren, las densidades actuales cambiarán. Las matemáticas detalladas se dan en la siguiente sección.
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Definición real
De la discusión anterior, ahora vamos a ver las ecuaciones fundamentales para la densidad actual y el potencial.
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[math] \ hspace {4.5cm} \ textbf {Densidad actual} [/ math]
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[matemáticas] \ hspace {4cm} \ grande I = \ int J.ds [/ matemáticas]
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donde J es la densidad de corriente, I es la corriente y ds es el elemento de integración.
Nota: La densidad de corriente puede ser transversal o para todo el volumen. Dependiendo de esto, el elemento de integración se convierte en da o dv y puede reemplazarse en coordenadas cartesianas por (dx.dy) o (dx.dy.dz) y la integración se convertirá en una integral doble o triple con límites adecuados. Es importante tener en cuenta que, generalmente se ve en la electrostática y la dinámica que las coordenadas cartesianas (como se muestra arriba) son difíciles de tratar y, por lo tanto, generalmente se prefiere usar otro sistema de coordenadas como esférico o cilíndrico. Los resultados finales se pueden convertir de un sistema a otro cuyas técnicas estándar están disponibles en los libros de texto.
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[matemáticas] \ hspace {4.5cm} \ textbf {Potencial} [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ hspace {4cm} \ grande E = – \ nabla V [/ matemáticas]
[matemáticas] \\ [/ matemáticas]
Aquí [math] \ nabla [/ math] es el operador grad (gradiente) que es esencialmente la suma de la primera derivada de la cantidad que se opera en todas las dimensiones fundamentales del sistema de coordenadas (dV / dx + dV / dy + dV / dz en cartesiano).
La definición original de la Ley de Ohm es, por lo tanto, entre la densidad actual y el campo eléctrico. Dice que, para cierto tipo de materiales, la densidad de corriente (J) y la intensidad del campo eléctrico (E) son proporcionales, y la constante de proporcionalidad es [matemática] \ sigma [/ matemática] que es la conductividad del material.
Por lo tanto,
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[matemáticas] \ hspace {4.5cm} J = \ sigma E [/ matemáticas]
[matemáticas] \\ [/ matemáticas]
Ahora, la conversión de esta forma al corolario se puede hacer usando un poco de cálculo elemental.
La conductividad se convierte en conductancia debido a los términos adicionales de longitud del conductor (l) y áreas de conducción (A) que aparecerán en el proceso de integración. Esto se puede hacer rigurosamente para que cualquier geometría dada obtenga la ecuación exacta.
[matemáticas] \\ [/ matemáticas]
Nota: La ecuación resultante que obtendrá después del tratamiento matemático anterior será verdadera para esa geometría particular del conductor. Para cualquier otra geometría, las matemáticas deben hacerse nuevamente a partir de las ecuaciones fundamentales anteriores.
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Referencias
Introducción a la electrodinámica – David J Griffiths,
Ingeniería Electromagnética – WH Hayt, JA Buck