Arriba están los gráficos de ganancia o amplitud de los filtros de muesca de varios órdenes. Explicaré cómo obtienes ciertos valores de Q en tu diseño. La discusión se aplica a los otros tipos de filtros. De la gráfica se desprende que cuanto mayor sea el orden del filtro, más pronunciada es la transición entre la banda de paso y la banda de parada .
Pero, para los impacientes, aquí está la respuesta TL; DR : de hecho, no eliges directamente tus factores Q; el procedimiento de diseño los trae implícitamente, es decir, restricciones de diseño y familia de filtros .
Continuando …
Para diseñar un filtro de muesca, debe definir tres frecuencias:
- the – [math] K_P [/ math] = – 3 dB frecuencias de corte, que son las más bajas [math] \ omega_ {C1} [/ math] y las superiores [math] \ omega_ {C2} [/ math];
- y otra frecuencia entre las primeras, ya sea [matemática] \ omega_ {S1} [/ matemática] mayor que [matemática] \ omega_ {C1} [/ matemática], o [matemática] \ omega_ {S2} [/ matemática] menor que [matemáticas] \ omega_ {C2} [/ matemáticas]. Entre estas dos frecuencias, uno quiere tener al menos [math] K_S [/ math] dB de atenuación.
La razón por la que necesita definir solo tres frecuencias, en lugar de cuatro, es porque no todos son parámetros “libres” (debido a las matemáticas detrás de las transformaciones del filtro); tienen que respetar las ecuaciones
[matemáticas] \ omega_0 ^ 2 = \ omega_ {C1} \ omega_ {C2} = \ omega_ {S1} \ omega_ {S2} [/ matemáticas]
donde [math] \ omega_0 [/ math] es la frecuencia central de la muesca. Entonces, con cualquiera de las tres frecuencias del grupo, obtenemos [math] \ omega_0 [/ math] y la frecuencia “faltante”.
Para las principales familias de filtros: Butterworth, Chebvshev, Bessel-Thomson, … – la relación [matemáticas] (\ omega_ {C2} – \ omega_ {C1}) / (\ omega_ {S2} – \ omega_ {S1}) [ / math], así como [math] K_P [/ math] (generalmente 3 dB) y [math] K_S [/ math], se usan junto con gráficos o fórmulas que generan el orden mínimo, [math] N [/ matemática], del prototipo de filtro de paso bajo normalizado necesario para satisfacer esas restricciones de diseño (de frecuencias y atenuación). El orden de la muesca será [matemática] 2N [/ matemática], el doble del orden del LP.
De hecho, las restricciones anteriores se convierten en restricciones del prototipo LP.
Ilustraré, con un simple ejemplo de Butterworth, cómo se obtiene la Q. Suponga que, a partir de las limitaciones de su diseño, terminó necesitando un prototipo LP de segundo orden, correspondiente a una muesca de cuarto orden. La función de transferencia Butterworth normalizada LP de segundo orden es
[matemáticas] H _ {\ mbox {ButtLP}} (S) = \ frac {1} {S ^ 2 + \ sqrt {2} S + 1} [/ matemáticas]
La transformación LP a muesca está debajo, donde [math] B = \ omega_ {C2} – \ omega_ {C1} [/ math] es el ancho de banda
[matemáticas] S \ to \ frac {Bs} {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, al reemplazar [math] S [/ math] arriba con esta transformación, terminas con
[matemáticas] H _ {\ mbox {muesca}} (s) = \ frac {(s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2) ^ 2} {(Bs) ^ 2 + \ sqrt {2} Bs (s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2) + (s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2) ^ 2} [/ math]
El denominador tiene cuatro raíces, los polos de filtro , que son dos pares de números conjugados complejos . Al organizarlos en pares, y al dividir la función de transferencia de cuarto orden en el producto de dos de segundo orden, finalmente tendremos:
[matemáticas] H _ {\ mbox {muesca}} (s) = \ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {s ^ 2 + (\ omega_x / Q_x) s + \ omega_x ^ 2} \ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {s ^ 2 + (\ omega_y / Q_y) s + \ omega_y ^ 2} [/ math]
Donde las constantes [matemáticas] Q_x [/ matemáticas], [matemáticas] Q_y [/ matemáticas], [matemáticas] \ omega_x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ omega_y [/ matemáticas] se han definido implícitamente por los coeficientes de Butterworth polinomio, [matemática] [1, \ sqrt {2}, 1] [/ matemática], por el orden del filtro y por los parámetros del filtro, [matemática] B [/ matemática] y [matemática] \ omega_0 [ /matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemáticas] Q_x \ neq Q_y [/ matemáticas] y [matemáticas] \ omega_x \ neq \ omega_y [/ matemáticas] lo que significa que las dos secciones de segundo orden utilizadas en el mismo filtro tienen Q diferentes.
Si utilizamos el filtro Bessel, la función de transferencia normalizada LP sería:
[matemáticas] H _ {\ mbox {BessLP}} (S) = \ frac {1} {0.618S ^ 2 + 1.3617S + 1} [/ matemáticas]
y por lo tanto, el uso de la transformación [matemática] S \ a \ frac {Bs} {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} [/ matemática] generaría una función de transferencia con un conjunto diferente de coeficientes en el denominador de cuarto orden (en comparación a Butterworth) y, obviamente, terminaríamos con diferentes [matemáticas] Q_x [/ matemáticas] y [matemáticas] Q_y [/ matemáticas] en las secciones.
Por lo tanto, no elige ni define los factores Q de las funciones de transferencia directamente. Son el resultado de: la familia de filtros que selecciona; y las restricciones de diseño del filtro (que imponen el orden del filtro). ¡No se pueden definir directamente a partir de estas restricciones de diseño!
Los detalles de los procedimientos utilizados en el diseño de los filtros se encuentran en cualquier buen “libro de filtros”. De los cientos disponibles, uso y me gusta: G. Daryanani, “Principios de síntesis y diseño de redes activas” , Wiley, 1976; L. Huelsman, “Diseño de filtro analógico activo y pasivo: una introducción” , McGraw-Hill, 1993. Por supuesto, también hay manuales completos sobre diseño de filtros de Zverev, de Taylor y de Matthaei. Y muchos más. Simplemente haga una búsqueda, porque hay muchos buenos libros sobre el tema.