¿Por qué la frecuencia es igual a k / K donde k = 0, …, K-1 en una transformada discreta de Fourier?

Answer 1

La frecuencia es un término de conteo. Una expresión como ‘ Esto con esa frecuencia’ implica que ‘ esto ‘ repite ‘ eso ‘ muchas veces en una unidad de tiempo.

Cada sinusoide se describe fácilmente por un número de frecuencia. La suma de sinusoides se puede usar para representar cualquier forma de onda. Esta suma de sinusoides se puede representar fácilmente utilizando los valores de frecuencia. Esta es solo la idea detrás de la serie Fourier. (Asegúrese de sentirse cómodo con la independencia de Fourier y cómo funciona la superposición espectral).

Dada una forma de onda medida en el dominio del tiempo, con un contenido de frecuencia desconocido, la transformada de Fourier intenta identificar qué sinusoide (identificado por una frecuencia) contribuye qué cantidad o puntaje (amplitud o potencia) a esa forma de onda. La frecuencia que aporta la ‘mayor cantidad’ / puntaje es el pico que ve en sus espectros (este puntaje es la transformación de frecuencia). Esta cantidad / puntuación es una métrica, que se selecciona para que tenga más sentido en términos físicos comunes.

La definición de puntaje se construye tomando prestadas ideas de la teoría de muestreo discreto. Básicamente, cuenta el número de muestras que podrían ser parte de una sinusoide particular (definida por esa frecuencia única). Si muchas muestras pertenecen a esa frecuencia en particular, su puntaje aumenta y viceversa.

El algoritmo para calcular puntajes para todas las frecuencias (DFT algo) funciona mediante la identificación de una frecuencia particular cuyo puntaje desea calcular, luego revisa cada muestra medida en la forma de onda del dominio del tiempo y mide la contribución de las muestras a la frecuencia seleccionada (Esto es representado por la suma entre [matemática] n = 1 [/ matemática] a [matemática] n = K [/ matemática] en su ecuación DFT). Una vez que haya terminado con una frecuencia particular, pasará a la siguiente.

[math] K [/ math] representa el número de muestras que tiene en su forma de onda de dominio de tiempo. Deje que su tiempo de muestra sea [matemática] \ Delta t [/ matemática]

El sinusoide de período más grande (frecuencia más baja) que podría estar presente en la forma de onda dada será igual a [matemática] K \ Delta t [/ matemática] (con la frecuencia más baja = [matemática] 1 / K \ Delta t [/ matemática]) .

Además, la sinusoide con el período más pequeño posible en su forma de onda es aproximadamente igual al tiempo de muestreo, [matemática] \ Delta t [/ matemática] (o la frecuencia más alta es [matemática] 1 / \ Delta t [/ matemática]). Ver criterios de Nyquist .

También tenga en cuenta que, dado que tiene un tiempo de muestreo uniforme, solo puede contar frecuencias en los pasos de [math] 1 / \ Delta t [/ math]. O el vector de frecuencia que puede detectar se verá así:
[matemáticas] \ mathbf {F} = \ bigg [\ frac {1} {K \ Delta t}, \ frac {2} {K \ Delta t},…, \ frac {K-1} {K \ Delta t }, \ frac {1} {\ Delta t} \ bigg] [/ math].

Como [math] \ frac {1} {\ Delta t} [/ math] es un múltiplo constante en la matriz, puede escribir su vector de frecuencia como:
[matemáticas] \ mathbf {F} = \ bigg [\ frac {1} {K}, \ frac {2} {K},…, \ frac {K-1} {K \ Delta t}, \ frac {K } {K} \ bigg] \ frac {1} {\ Delta t} [/ math].

Deje que [math] k [/ math] sea miembro de [math] [1,2, …, K-1, K] [/ math]. Entonces, según la ecuación anterior, la frecuencia [matemática] k ^ {\ text {th}} [/ matemática] estaría dada por [matemática] \ frac {k} {K} \ veces f _ {\ text {muestra}} [/ matemáticas]. Debido a que es un múltiplo constante, la frecuencia de muestreo, [matemática] f _ {\ text {muestra}} [/ matemática] generalmente puede ignorarse hasta que necesite convertir ‘puntajes’, ‘números’ y valores en cantidades físicas.

Ahora la disculpa. Esta no es una descripción precisa. Es una descripción simplificada donde ignoramos contar errores y esquinas. Pero obtendrá sus detalles de sus libros / clases y en otros lugares de Quora. Recuerdo haber visto algunas interpretaciones fantásticas del DFT aquí.

Answer 2

Big [math] K [/ math] es el número de muestras en su entrada. También es el número de sinusoides en la salida.

Poco [matemática] k [/ matemática] significa: ¿qué sinusoide? y es un número entero de [math] 0 [/ math] a [math] K-1 [/ math].

[math] f_k [/ math] es la frecuencia de la sinusoide [math] k [/ math] th.

[matemáticas] \ qquad f_k = \ displaystyle \ frac {k} {K} [/ matemáticas]

La magia de la DFT es que toma cualquier archivo de audio de muestras [matemáticas] K [/ matemáticas] y lo re-expresa como sinusoides [matemáticas] K [/ matemáticas], en otras palabras, [matemáticas] K [/ matemáticas] tonos puros ¡Toque estos tonos puros juntos y el sonido combinado coincidirá con el archivo de audio original!

Tenga en cuenta que las frecuencias de las sinusoides (es decir, los tonos de los tonos) no son calculadas por el DFT. Están predeterminados por el número de muestras ([matemáticas] K [/ matemáticas]). Las frecuencias serán

[matemáticas] \ qquad 0, \ displaystyle \ frac {1} {K}, \ displaystyle \ frac {2} {K}, \ ldots \ displaystyle \ frac {K – 1} {K} [/ math]

Lo que calcula el DFT son las amplitudes y los cambios de fase para estas frecuencias, es decir, qué tan alto tocar cada tono y cuándo comenzarlo, para que el sonido combinado coincida con su entrada.

Me resulta más intuitivo pensar en términos de ciclos en lugar de frecuencia. Cada sinusoide “encajará” perfectamente en la entrada; es decir, cada onda completará un número no fraccional de ciclos (longitudes de onda) en el lapso de la entrada. Específicamente, la sinusoide [matemática] k [/ matemática] completa los ciclos [matemática] k [/ matemática].

En la figura siguiente, [math] K [/ math] es 3. Los puntos amarillos son las muestras de entrada. La línea gris oscura es sinusoide 0. Las líneas verdes son sinusoides 1 y 2 (tenga en cuenta que tienen uno y dos ciclos de longitud, respectivamente). La línea azul es la suma de las sinusoides; observa los tres puntos amarillos, reproduciendo así la entrada.

(Hice esta cifra usando una herramienta de Una guía interactiva para la transformación de Fourier, que recomiendo encarecidamente. Es la mejor explicación que he encontrado hasta ahora).

PS Un posible punto de confusión es que las frecuencias [math] f_k [/ math] están en ciclos / muestra en lugar de Hz (ciclos / seg). Si necesita Hz, multiplique por la frecuencia de muestreo, [math] f_s [/ math], de la entrada:

[matemáticas] \ qquad f_k \ text {en Hz} = \ displaystyle \ frac {k} {K} f_s [/ matemáticas]