Una carcasa no conductora con radio interno a y radio externo b, tiene una densidad de carga de volumen positivo d = A / r, A es constante. Una carga puntual positiva está presente en el centro de la carcasa. ¿Cuál debería ser el valor de A si el campo dentro del caparazón es uniforme?

Considere el siguiente diagrama, tomando [math] q [/ math] como el valor de la carga positiva colocada en el centro del caparazón:

En la superficie interna del caparazón, el valor de [matemática] E [/ matemática] es [matemática] \ dfrac {q} {4 \ pi \ varepsilon_ {0} a ^ {2}} [/ matemática]

Este es también el valor del campo eléctrico uniforme [matemática] E_ {i} [/ matemática] dentro de la carcasa.

A una distancia arbitraria [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] a <x <b [/ matemática], suponiendo que la constante dieléctrica del conductor sea 1, de la Ley de Gauss tenemos:

[matemáticas] E_ {i}. (4 \ pi x ^ {2}) = \ dfrac {Q_ {e}} {\ varepsilon_ {0}} [/ matemáticas] o

[matemáticas] Q_ {e} = \ dfrac {qx ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas]

Sea [math] q_ {c} [/ math] el valor de la carga contenida en el conductor entre [math] a [/ math] y [math] x [/ math]

Además, [matemáticas] Q_ {e} = q + q_ {c} [/ matemáticas] ………. [1]

Integrando para encontrar el valor de [math] q_ {c} [/ math]

[matemáticas] q_ {c} = \ int ^ {x} _ {a} \ rho (r) dV [/ matemáticas] o

[matemáticas] q_ {c} = \ int ^ {x} _ {a} (\ dfrac {A} {r}) (4 \ pi r ^ 2dr) [/ matemáticas]

en la realización de la integral

[matemáticas] q_ {c} = 2 \ pi A (x ^ 2-a ^ 2) [/ matemáticas]

conectando el valor obtenido en [1]

[matemáticas] \ dfrac {qx ^ 2} {a ^ 2} = q + 2 \ pi A (x ^ 2-a ^ 2) [/ matemáticas] o

[matemáticas] A = \ dfrac {q} {2 \ pi a ^ 2} [/ matemáticas]