Los polos generalmente le brindan más información por adelantado que los ceros.
Para cualquier circuito lineal, o más generalmente, cualquier sistema lineal invariante en el tiempo, las soluciones serán superposiciones de modos exponenciales. Puede ver esto mirando cualquier ecuación diferencial lineal de coeficiente constante:
[matemáticas] a_n y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_0 y = 0 [/ matemáticas]
Si asume una solución de la forma [math] e ^ {st} [/ math], encontrará que s tiene que ser una raíz de lo que se llama el polinomio característico.
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[matemáticas] a_n s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_0 = 0 [/ matemáticas]
El teorema fundamental del álgebra garantiza n raíces complejas, por lo que hemos encontrado un conjunto completo de soluciones para la ecuación homogénea.
Si tomamos la transformada de Laplace de la misma ecuación, encontramos que el denominador de la función de transferencia es el polinomio característico, por lo que los polos son las raíces del polinomio característico y determinan los modos fundamentales del sistema.
Qué significa todo esto? Significa que si tiene una gráfica de las ubicaciones de los polos, prácticamente puede leer los tipos de comportamientos que puede esperar del sistema.
Los polos con valores reales positivos corresponden a modos que aumentan exponencialmente, por lo que si hay polos en la mitad derecha del plano s, decimos que el sistema es inestable ya que una entrada pequeña podría dar como resultado una salida sin límites. La estabilidad es una consideración muy importante para el diseño de circuitos, ya que la mayoría de los sistemas están diseñados para ser estables. (Imagínese si tuviera un controlador de motor en un automóvil eléctrico que fuera inestable: tocar el acelerador podría enviarlo a toda velocidad, lo que no es exactamente deseable).
Si los coeficientes del polinomio característico son reales (que es siempre el caso de los problemas de ingeniería), entonces todos los polos complejos deben venir en pares conjugados. Un par conjugado de polos complejos corresponde al comportamiento oscilatorio del sistema.
Para una función de transferencia racional, los polos también determinarán la región de convergencia (ROC) de la transformación, lo que a su vez nos permite encontrar otras dos propiedades importantes: la causalidad y la convergencia de la transformada de Fourier. El ROC es una franja vertical del plano s bordeado a sus lados por postes. Si el ROC contiene el eje [math] j \ omega [/ math], la transformada de Fourier converge. Si el sistema es causal, el ROC está limitado a la izquierda y sin límites a la derecha.
¿Qué hay de los ceros? ¿Son buenos para algo? Bueno, resulta que puedes usar los polos y ceros juntos para evaluar geométricamente la respuesta de frecuencia. La magnitud de la respuesta a una frecuencia en el eje [math] j \ omega [/ math] es el producto de las distancias de ese punto desde los ceros dividido por el producto de las distancias de ese punto desde los polos. Intuitivamente, eso significa que la respuesta de frecuencia será grande cerca de los polos y pequeña cerca de los ceros. Esto hace que sea muy fácil diseñar filtros LTI simplemente eligiendo el polo y las ubicaciones cero para obtener el comportamiento que desea.