¿Cómo se puede contar más allá de [math] \ infty [/ math]?

Answer 1

La clase de números ordinales, los tipos de conjuntos bien ordenados, cuenta mucho más allá del infinito a través de los llamados Ordinales de límite. Aquí hay una representación gráfica de los primeros ordinales:

(Fuente: Archivo: Omega-exp-omega-label.svg – Wikipedia)

Puede pensar en cada ordinal como el conjunto ordenado de todos los ordinales anteriores, comenzando con cero como el conjunto vacío. Uno es el conjunto que contiene cero, [math] \ {0 \} [/ math]; Dos es el conjunto que contiene cero y uno, [math] \ {0,1 \} [/ math]; y así sucesivamente (y así sucesivamente).

El primer límite ordinal es Omega, [math] \ omega = \ {0,1,2, \ dotsc \} [/ math], el conjunto ordenado infinito de todos los números naturales. El siguiente ordinal es [math] \ omega + 1 = \ {0,1,2, \ dotsc, \ omega \} [/ math], luego [math] \ omega + 2, \ omega + 3, \ dotsc, \ omega + \ omega = \ omega \ cdot2 [/ math].

Y seguimos contando a través de [math] \ omega \ cdot3, \ omega \ cdot4, \ dotsc [/ math], hasta [math] \ omega \ cdot \ omega = \ omega ^ 2 [/ math].

Luego es [math] \ omega ^ 3, \ omega ^ 4, \ dotsc, \ omega ^ {\ omega} [/ math] (el final del diagrama de arriba).

Luego [math] \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}} [/ math] hasta [math] \ epsilon_0 = \ omega ^ {\ omega ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ omega}} }} [/ math] una torre exponencial infinita de ordinales límite.

Y no se detiene ahí. ¿Por qué lo haría? Tenemos [math] \ epsilon_0 + 1 [/ math]. Y ese pequeño subíndice debería darle una pista de que tenemos [math] \ epsilon_1, \ epsilon_2, \ dotsc, \ epsilon _ {\ omega} [/ math]. De hecho, nunca se detiene!

Hay más que innumerables ordinales contando más allá de “infinito” o [math] \ omega [/ math], aunque por supuesto hay muchos ordinales menores que [math] \ omega [/ math], a saber, todos los números naturales.

Answer 2

Depende de lo que quieras decir con ‘infinito’. Si te refieres al infinito como una cantidad o algo (o un número cardinal), entonces no, no es posible contar el infinito pasado. Sin embargo, con los números ordinales, (investigue este enlace para obtener más información: número ordinal – Wikipedia), puede contar el infinito pasado e incluso descubrir infinitos completamente nuevos. Para ver ejemplos de esto y una buena explicación del asunto, mira este video

Answer 3

Al contar, cuentas a un ritmo finito, así que realmente, nunca puedes contar hasta el infinito para poder contar más allá del infinito. Entonces la respuesta es que no puedes contar el infinito pasado, porque primero deberías llegar allí.