¿Cuál es el proceso para resolver [matemáticas] x ^ a = a ^ x [/ matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

Suponiendo que [matemática] a> 0 [/ matemática], tome el registro de ambos lados y baje los exponentes:

[matemáticas] a \ ln (x) = x \ ln (a) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ ln (x)} {x} = \ frac {\ ln (a)} {a} [/ matemáticas]

Claramente, [math] a = x [/ math] es una solución. ¿Hay otros? Bueno eso depende. Veamos una trama.

Trazar [matemáticas] \ frac {\ ln (x)} {x} [/ matemáticas] revela algunas cosas:

• La función solo es negativa cuando para [matemáticas] x <1 [/ matemáticas] y es monotónicamente en este dominio. Por lo tanto, si [matemática] a <1 [/ matemática], la única solución es [matemática] x = a [/ matemática].
• Si [math] a> 1 [/ math], entonces la función aumenta para [math] a e [/ math] (si lo desea, puede verificar esto con cálculo). Por lo tanto, si [math] a = e [/ math], entonces la única solución es también la solución trivial.
• De lo contrario, la función es 2: 1 (una solución más pequeña que [math] e [/ math] y una solución más grande que [math] e [/ math]), por lo que hay exactamente otra solución.

Encontrar la otra solución, donde exista, implica plausiblemente usar la función Lambert W, si desea encontrar una función especial cuyas propiedades puedan ser útiles. Tome lo negativo de la ecuación que habíamos encontrado y descubra que esto es equivalente a resolver:

[matemáticas] \ frac {1} {x} \ ln \ left (\ frac {1} {x} \ right) = \ frac {1} {a} \ ln \ left (\ frac {1} {a} \ derecha) [/ matemáticas]

Por lo tanto, exponiendo ambos lados:

[matemáticas] \ frac {1} {x} e ^ {1 / x} = \ frac {1} {a} e ^ {1 / a} [/ matemáticas]

Por lo tanto, utilizando la función Lambert W mencionada anteriormente, encontramos:

[matemática] W \ left (\ frac {1} {x} \ right) = W \ left (\ frac {1} {a} \ right) [/ math]

Resolver esto no es algo que sepa de antemano cómo hacer; No estoy lo suficientemente familiarizado con las características de esa función especial para saber cómo encontrar la solución (por ejemplo) que es mayor que [math] e [/ math] dada la solución que es menor que [math] e [/ math ]

Answer 2

Como se menciona en otra respuesta, podemos resolver esto utilizando la función Lambert W, que tiene la propiedad de que [math] \ textrm {W} (xe ^ {x}) = x [/ math]. Nuestro objetivo, entonces, será lograr que un lado de la ecuación sea constante [matemática] c [/ matemática], y el otro sea [matemática] f (x) e ^ {f (x)} [/ matemática ] En ese punto, podemos aplicar la función W y luego resolver la ecuación resultante [matemáticas] f (x) = \ textrm {W} (c) [/ matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas].

[matemáticas] x ^ {a} = a ^ {x} [/ matemáticas]

Necesitamos algo de la forma [math] e ^ {f (x)} [/ math], así que comencemos cambiando nuestra base a [math] e [/ math].

[math] \ Rightarrow x ^ {a} = e ^ {x \ ln {a}} [/ math]

Ahora reunamos cada [matemática] x [/ matemática] en un lado.

[math] \ Rightarrow x ^ {- a} e ^ {x \ ln {a}} = 1 [/ math]

Ahora eliminemos el exponente de [math] -a [/ math] de [math] x [/ math] al tomar ambos lados al poder de [math] – \ frac {1} {a} [/ math ]

[math] \ Rightarrow xe ^ {- \ frac {x} {a} \ ln {a}} = 1 [/ math]

Ahora multiplicamos por [math] – \ frac {\ ln {a}} {a} [/ math] para que [math] x [/ math] se parezca al exponente de [math] e [/ math].

[matemáticas] \ Rightarrow – \ frac {x} {a} \ ln {a} e ^ {- \ frac {x} {a} \ ln {a}} = – \ frac {\ ln {a}} {a }[/matemáticas]

Ahora tenemos una forma en la que podemos usar la función W, ya que el lado izquierdo es igual a [math] f (x) e ^ {f (x)} [/ math] donde [math] f (x) = – \ frac {x} {a} \ ln {a} [/ math].

[matemáticas] \ Rightarrow \ textrm {W} (- \ frac {x} {a} \ ln {a} e ^ {- \ frac {x} {a} \ ln {a}}) = \ textrm {W} (- \ frac {\ ln {a}} {a}) [/ math]

[math] \ Rightarrow – \ frac {x} {a} \ ln {a} = \ textrm {W} (a ^ {a ^ {- 1}} e ^ {a ^ {- 1}}) [/ math ]

Finalmente, resolvemos [math] x [/ math] multiplicando por [math] – \ frac {a} {\ ln {a}} [/ math].

[matemática] \ por lo tanto x = – \ frac {a \ textrm {W} (a ^ {a ^ {- 1}} e ^ {a ^ {- 1}})} {\ ln {a}} [/ math ]

Vale la pena señalar que la función W es multivalor, por lo que todavía puede haber múltiples valores que satisfagan [matemática] a ^ {x} = x ^ {a} [/ matemática] a pesar de tener una sola forma cerrada.

Answer 3

No podía pensar en otra cosa. Estos pueden ser poco convencionales (completamente diferentes de la técnica convencional) pero dieron respuestas.

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MÉTODO UNO:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {split} x ^ a & = a ^ x \\ \ ln x ^ a & = \ ln a ^ x \\ a \ cdot \ ln x & = x \ cdot \ ln a \\ \ dfrac {\ ln x} {x} & = \ dfrac {\ ln a} {a} \ end {split} \\ \ large \ boxed {\ bf {\ por lo tanto \ dfrac {\ ln x} {x} = \ dfrac {\ ln a} {a}}} \ tag * {} [/ math]

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MÉTODO DOS:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {split} x ^ a & = a ^ x \ end {split} \\ \ underline {\ overline {\ text {Diferenciando ambos lados:}}} \\ \ begin {split} ax ^ {a-1} & = a ^ x \ ln a \\ ax ^ {a-1} & = x ^ a \ ln a \\ \ dfrac {x ^ a} {x ^ {a-1}} & = \ dfrac {a} {\ ln a} \ end {split} \\ \ large \ boxed {\ bf {\ por lo tanto x = \ dfrac {a} {\ ln a}}} \ tag * {} [/ math]

Identidad utilizada en el Método dos: [matemáticas] x ^ a = a ^ x [/ matemáticas]

NOTA: El método dos tiene un defecto fatal; para citar a un compañero quoran en los comentarios:

Si los valores son iguales en dos valores diferentes de x [matemática] x [/ matemática], eso no implica que sus derivadas sean iguales. El método 2 no funciona porque solo estamos considerando un valor de [math] x [/ math].

Answer 4

[matemáticas] x ^ {a} = a ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log x ^ {a} = \ log a ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ log x = x \ log a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ log x} {x} = \ frac {\ log a} {a} [/ matemáticas]

Answer 5

Si elevamos ambos lados de la ecuación a [math] \ frac {1} {ax} [/ math], esto dará [math] (x ^ a) ^ \ frac {1} {ax} = (a ^ x) ^ \ frac {1} {ax} [/ math] y, utilizando la propiedad de exponentes que dicen que [math] (y ^ z) ^ c = y ^ {zc} [/ math], podemos simplificar esto a [matemáticas] x ^ \ frac {1} {x} = a ^ \ frac {1} {a} [/ matemáticas].

Como hemos aislado cada variable, ahora es mucho más fácil de resolver para [matemática] x [/ matemática] o [matemática] a [/ matemática].

Answer 6

Lo remito a ¿Cómo resuelve [matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas] analíticamente?

Answer 7

La forma más fácil parece esta:
=> ln (x ^ a) = ln (a ^ x)
=> a lnx = x ln (a)
Ahora, use cualquiera de los métodos de solución iterativa, como Newton-Raphson, Runge-Kutta, el Método de Euler, etc.

Answer 8

Tomar en ambos lados

Ahora trate ln x como una variable como y.

Ahora tienes dos ecuaciones y dos incógnitas.

Resolver en términos de un

Answer 9

Mediante inspección,

Cuando a = 1, x = 1

Cuando a = 2, x = 2

Cuando a = 3, x = 3 …… y así sucesivamente.

Y cuando a = Cualquier cosa, x = lo mismo que a