Si [math] a \ cos (x) + b \ sin (x) = c [/ math] tiene raíces [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math], ¿puede mostrar que [ math] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {2ab} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Deje [math] \ tan t = \ dfrac {a} {b} [/ math]; [matemáticas] \ sin t = \ dfrac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]; [matemáticas] \ cos t = = \ dfrac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

Sustituyendo a y b en términos de t obtenemos

[matemáticas] \ sin t \ cos x + \ cos t \ sin x = \ dfrac {c} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (x + t) = \ dfrac {c} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k [/ matemáticas] decir

Enchufar [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + t) = \ sin (\ beta + t) = k [/ matemáticas]

Como [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​diferentes, se deduce

[matemáticas] \ alpha + t = \ pi – (\ beta + t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ beta = \ pi – 2t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin 2t = 2 \ sin t \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = 2 \ dfrac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ dfrac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ sin (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {2ab} {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ math]

Answer 2

Ponga [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] en lugar de [math] x [/ math] para obtener las ecuaciones [math] 2 [/ math].

Al restarlos, obtenemos,

[matemáticas] a (\ cos \ alpha- \ cos \ beta) + b (\ sin \ alpha – \ sin \ beta) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Usando Identidades de Trig de Suma a Producto,

[matemáticas] 2 \ sin (\ frac {\ alpha- \ beta} {2}) (a \ sin (\ frac {\ alpha + \ beta} {2}) – b \ cos (\ frac {\ alpha + \ beta} {2})) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin (\ frac {\ alpha- \ beta} {2}) = 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] (a \ sin (\ frac {\ alpha + \ beta} {2}) – b \ cos (\ frac {\ alpha + \ beta} {2})) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Como se puede ver, la primera parte no nos ayudará a alcanzar la solución.

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Jugueteando con la segunda parte, vemos que

[matemáticas] \ tan (\ frac {\ alpha + \ beta} {2}) = \ frac {b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

Al formar una familia de triángulos con el valor de tangente dado, llegamos a nuestro resultado deseado.

(Tenga en cuenta que [math] \ sin2x = 2 \ sin x \ cos x [/ math])

[matemáticas] \; [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto \ grande \ en caja {\ sin (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {2ab} {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ matemática]

QED

Answer 3

Como [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​las raíces de la ecuación anterior, podemos colocarlas en lugar de [math] x [/ math], de modo que

[matemáticas] a \ cos \ alpha + b \ sin \ alpha = c \ tag 1 \\ [/ matemáticas]

y [matemáticas] a \ cos \ beta + b \ sin \ beta = c \ tag 2 \\ [/ matemáticas]

Como (1) = (2),

[matemáticas] a \ cos \ alpha + b \ sin \ alpha = a \ cos \ beta + b \ sin \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a (\ cos \ alpha – \ cos \ beta) = b (\ sin \ beta – \ sin \ alpha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a \ times 2 \ sin \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ dfrac {\ beta – \ alpha} {2} = b \ times 2 \ cos \ dfrac {\ beta + \ alpha} {2} \ sin \ dfrac {\ beta – \ alpha} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica a \ sin \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2} = b \ cos \ dfrac {\ beta + \ alpha} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2} = \ dfrac {b} {a} \ tag 3 \\ [/ matemáticas]

Ahora sabemos, [matemáticas] \ sin 2 \ theta = \ dfrac {2 \ tan \ theta} {1+ \ tan ^ 2 \ theta} [/ math]

Considerando [math] \ theta = \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2}, [/ math]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {2 \ tan \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2}} {1+ \ tan ^ 2 \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2 }}[/matemáticas]

De (3),

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {2 \ veces \ frac {b} {a}} {1 + (\ frac {b} {a}) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {2ab} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas] (Probado)

Answer 4

Transformemos la ecuación en otra forma:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac a {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ cos x + \ frac b {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ sin x = \ frac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ tag * {} [/ math]

Dejar

[matemáticas] \ begin {align} u & = \ dfrac c {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \\ \ sin \ theta & = \ dfrac a {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ \ \ cos \ theta & = \ dfrac b {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] \ sin (x + \ theta) = u \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Y como [math] \ alpha, \ beta [/ math] son ​​las raíces de la ecuación que tenemos

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ theta) = \ sin (\ beta + \ theta) \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ theta = \ pi- \ beta- \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ beta = \ pi-2 \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin 2 \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (\ alpha + \ beta) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta = \ dfrac {2ab} {a ^ 2 + b ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]