¿Cómo puedo probar que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito? Se supone que debo usar el método de la carcasa cilíndrica.
Es útil confirmar esto primero para un cilindro / paraboloide específico : radio [matemática] r = 1 [/ matemática] y altura [matemática] h = 1 [/ matemática], por lo que el volumen del cilindro es [matemática] V = \ pi r ^ 2h = \ pi [/ math] unidades cúbicas.
El paraboloide inscrito (es decir, el paraboloide sobre el cual se puede circunscribir este cilindro) se puede construir como el sólido de revolución para la región [matemáticas] R [/ matemáticas] en el primer cuadrante delimitado anteriormente por [matemáticas] y = 1-x ^ 2 [/ math], girado alrededor del eje [math] y [/ math]. (O si lo desea, podría usar la región en Q1 delimitada por [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas], pero me gusta visualizar paraboloides sentados en una base plana. )
Para usar conchas cilíndricas, divida [matemática] R [/ matemática] en rectángulos verticales estrechos (la ilustración a continuación muestra 20 de esos rectángulos), y luego gire cada uno de ellos alrededor del eje [matemático] y [/ matemático].
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Por ejemplo, considere el rectángulo negro en esta figura, y llame a su ancho “[math] dx [/ math]”. Si giramos este rectángulo alrededor del eje [math] y [/ math], tendríamos un caparazón que mide aproximadamente 0.55 unidades de alto, con un radio de 0.65 (medido hacia adentro). Si cortamos ese caparazón y lo enrollamos plano, sería (aproximadamente) una losa rectangular con dimensiones aproximadas [matemática] 2 \ pi \ cdot [/ matemática] 0.65 por 0.55 por [matemática] dx [/ matemática].
En términos más generales, para un rectángulo ubicado en [matemática] x [/ matemática] (con [matemática] 0 \ le x \ le 1 [/ matemática]), la losa rectangular resultante sería [matemática] 2 \ pi x [/ matemática ] por [math] (1-x ^ 2) [/ math] por [math] dx [/ math]., entonces su volumen sería [math] dV = 2 \ pi x (1-x ^ 2) dx [ /matemáticas].
Para encontrar el volumen del paraboloide, integre (“junte”) todos estos “pequeños pedazos de volumen” [matemática] dV [/ matemática]:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int_0 ^ 1 dV = \ int_0 ^ 1 2 \ pi x (1-x ^ 2) dx} = 2 \ pi \ left [\ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {1} {4} x ^ 4 \ right] _0 ^ 1 = \ frac {\ pi} {2} \ text {unidades cúbicas} [/ math]
Ahora que hemos establecido el resultado deseado para [math] r = h = 1 [/ math], debemos considerar cómo modificar lo anterior para otros radios y alturas, lo que dejaré como ejercicio.