Esta pregunta es bastante amplia, así que voy a resumir dos temas diferentes de matemáticas de pregrado y resaltar su importancia.
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Cálculo variable único
¿Qué es el cambio? ¿Qué pasa con las funciones con el tiempo? ¿Se puede modelar analíticamente? Si es así, ¿qué cualidades requiere esto?
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SVC es una tradición tradicional. Muchos estudiantes serios lo cubren en la escuela secundaria, pero es un tema común en el primer año de la universidad. Dividido en dos cursos, todas las especialidades de ciencias duras (y más suaves) cubren este tema eventualmente. Diferentes escuelas aplican diferentes niveles de rigor a su instrucción (solo mi universidad tiene una sesión acelerada para estudiantes que desean un curso de actualización, una versión breve para las humanidades y especialmente estudiantes de negocios que no quieren abordar el tema completo, y una secuencia de honores punitiva destinada a introducir estudiantes universitarios de pruebas y temas más desafiantes desde el principio, todo además de las versiones regulares).
Los temas incluyen la continuidad y los teoremas que lo acompañan, pruebas básicas de límites de épsilon-delta, métodos de diferenciación, problemas de tasa relacionada, sumas de Riemann, métodos de integración en coordenadas cartesianas y polares, aplicaciones físicas, algunas ecuaciones diferenciales básicas, el método de Newton y quizás también el de Euler (si tienes suerte).
La mayoría de las aplicaciones directas son físicas y ecuaciones diferenciales (que a su vez dominan muchas ciencias). La mecánica clásica se basa tanto en estas clases que ni siquiera es graciosa.
Álgebra lineal
¿Qué es un espacio vectorial? Una matriz?
¿Recuerdas la cinemática? ¿Me puede decir por qué los componentes vertical y horizontal de un cuerpo que cae son independientes?
El álgebra lineal explora todo esto y más. Es el estudio de subespacios lineales en muchas dimensiones, típicamente a través del álgebra de matrices.
Un curso regular en el tema cubre lo anterior, los determinantes, los vectores propios, las bases y el cambio de base, la teoría básica de los mapas lineales (en realidad no estoy claro sobre esto) y algunos otros temas seleccionados. Un curso de honores generalmente cubrirá lo mismo con énfasis en las pruebas y en un dominio no especificado (a diferencia de las estructuras de los números reales).
Parafraseando a mi profesor: conocemos el álgebra lineal realmente, muy bien, al menos, dentro de un número finito de dimensiones que hacemos, por lo que mucho progreso matemático puede reducirse a solo convertir las cosas en problemas de álgebra lineal. Este tema es algo que todo aspirante a matemático (o físico) necesita aprender. Además, conduce muy bien al álgebra moderna y proporciona un soplo de aire fresco de la secuencia calc.
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Todo lo que sigue generalmente tiene uno de estos cursos como requisito previo, aunque probablemente podría patinar en un curso sobre teoría de números o lógica. Como tal, ambos califican como bastante básicos.
Incluiría cálculos multivariables y ecuaciones diferenciales, pero esos cursos tienden a ser mucho más pequeños en tamaño son menos ‘básicos’ en el sentido de ser fundamentales, mientras que sería difícil hacer cualquiera de ellos (sin mencionar el análisis) sin SVC o álgebra moderna sin cierta comprensión de lineal.