¿Cómo se puede probar que [math] \ dfrac {\ sec A + \ tan A + 1} {\ sec A- \ tan A + 1} = \ dfrac {1+ \ sin A} {\ cos A} [/ math ]?

Answer 1

En A = 0, la lhs no está definida, pero la rhs no, por lo que esta identidad es incorrecta. Creo que los signos están invertidos en secante y tangente en el denominador. Vamos a mostrar

[matemáticas] \ dfrac {\ tan A + \ sec A + 1} {- \ tan A + \ sec A + 1} = \ dfrac {1 + \ sin A} {\ cos A} [/ matemáticas]

Voy más rápido y cometo menos errores al abreviar [matemáticas] c = \ cos A, s = \ sin A [/ matemáticas]. Transcribiré mi prueba de abajo hacia arriba. Comience desde el teorema de Pitágoras:

[matemáticas] c ^ 2 + s ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Agregue [math] cs + c + s [/ math] a ambos lados:

[matemática] c ^ 2 + s ^ 2 + cs + c + s = 1 + c + cs + s [/ matemática]

[matemáticas] cs + c + c ^ 2 = -s + 1 + c + -s ^ 2 + s + cs [/ matemáticas]

[matemáticas] c (s + 1 + c) = (-s + 1 + c) + s (-s +1 + c) [/ matemáticas]

[matemáticas] c (s + 1 + c) = (1 + s) (- s + 1 + c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {s + 1 + c} {- s + 1 + c} = \ dfrac {1 + s} {c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ frac sc + \ frac 1 c + \ frac cc} {\ frac {-s} {c} + \ frac 1 c + \ frac cc} = \ dfrac {1 + s} {c} [/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ tan A + \ sec A + 1} {- \ tan A + \ sec A + 1} = \ dfrac {1 + \ sin A} {\ cos A} \ quad \ checkmark [/ math ]

#TrigIdentitiesAreAWasteOfTime

Answer 2

Una forma directa de demostrar la fuerza bruta de muchas identidades trigonométricas (si conoce la identidad que se debe establecer) es escribir las funciones en términos de la función exponencial y simplemente hacer aritmética de fracciones … simplemente gire la manivela a ambos lados de la identidad para ser probado, demuestre que son iguales … no se necesita “perspicacia” y no es necesario conocer otras identidades trigonométricas …

sec (A) = 1 / cos (A) = 2 / (e ^ (iA) + e ^ (- iA))

tan (A) = sin (A) / cos (A) = -i (e ^ (iA) – e ^ (- iA)) / (e ^ (iA) + e ^ (- iA))

cos (A) = (e ^ (iA) + e ^ (- iA)) / 2

sin (A) = (e ^ (iA) – e ^ (- iA)) / 2i

Simplemente haga esas sustituciones en la identidad, haga la fracción aritmética hasta el punto donde vea que ambos lados son iguales.

Otro beneficio de este método es que puede decirle rápidamente que ha confundido la identidad, ya que rápidamente se hará evidente que las dos partes no son iguales.

Answer 3

mi propia solución sigue este método que he votado a favor de la respuesta de Awnon Bhowmik a ¿Cómo se puede demostrar que [matemáticas] \ dfrac {\ sec A + \ tan A + 1} {\ sec A- \ tan A + 1} = \ dfrac {1+ \ sin A} {\ cos A} [/ math]?

Agregaría como introducción a ese método, que el primer paso es reconocer que el lado derecho se puede expresar como sec + tan. Y que, en general, el enfoque para tales preguntas es reconocer expresiones equivalentes lo antes posible. Si simplemente convierte todo a pecado y cos y lo multiplica todo, entonces obtendrá expresiones largas y muchas oportunidades para la confusión y el error.

Answer 4

sabemos que (sec a) ^ 2- (tan a) ^ 2 = 1;

(sec a-tan a) * (sec a + tan a) = 1;

entonces, sec a + tan a = 1 / (sec a-tan a);

formar esa conclusión;

sec a-tan a + 1 = (1 + sec a + tan a) / (sec a + tan a);

ahora (sec a + tan a + 1) / (sec a-tan a + 1)

= (seg a + tan a + 1) * (seg a + tan a) / (seg a + tan + 1)

= seg a + tan a

= 1 / cos a + sin a / cos a

= (1 + sen a) / cos a

Answer 5

Sé que este es el camino largo, pero a partir de lo básico:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {cos ^ 2A} {cos ^ 2A} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1-sin ^ 2A} {cos ^ 2A} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {cos ^ 2A} – \ frac {sin ^ 2A} {cos ^ 2A} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle sec ^ 2A-tan ^ 2A = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle (secA + tanA) (secA-tanA) = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle (secA-tanA) = \ frac {1} {secA ​​+ tanA} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ frac {secA ​​+ tanA + 1} {secA-tanA-1} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {secA ​​+ tanA + 1} {\ frac {1} {secA ​​+ tanA} +1} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {secA ​​+ tanA + 1} {\ frac {secA ​​+ tanA + 1} {secA ​​+ tanA}} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle secA + tanA = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {cosA} + \ frac {sinA} {cosA} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1 + sinA} {cosA} [/ matemáticas]

Answer 6

Sabemos

[matemáticas] \ sec A + \ tan A = \ dfrac {1} {\ sec A- \ tan A} [/ matemáticas]

Deje [math] x = \ sec A + \ tan A [/ math]

El lado izquierdo ahora se puede escribir como

[matemáticas] \ dfrac {x + 1} {\ dfrac {1} {x} +1} = \ dfrac {x (x + 1)} {x + 1} = x [/ matemáticas]

Entonces el lado izquierdo es igual a

[matemáticas] \ sec A + \ tan A [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ cos A} + \ dfrac {\ sin A} {\ cos A} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1+ \ sin A} {\ cos A} [/ matemáticas]

[matemáticas] = RHS [/ matemáticas]

Answer 7

Creo que has cometido un error al escribir la pregunta.
Lo sabemos
1 / (secA-tanA)
= 1 (secA + tanA) / (secA-tanA) (secA + A)
= (secA + tanA) / (sec ^ 2A-tan ^ 2A)
= secA + tanA.
Deje k = secA + tanA = 1 / (secA-tanA).
Por teorema sobre proporciones iguales,
k = (secA + tanA + 1) / (secA-tanA + 1).

Ahora, (1 + sinA) / cosA = secA + tanA = k .

Espero que hayas recibido la respuesta.