¿Cuál es la forma cerrada de la recursión f (n) = f (n-2) -f (n-1), donde los primeros términos son 3,2,1,1,0,1, -1,2, ¿…?

Answer 1

Tenga en cuenta que de acuerdo con su fórmula recursiva, sus primeros términos deben ser 3, 2, 1, 1, 0, 1, -1, …

Si desea una fórmula no recursiva, notamos que la relación recursiva se puede escribir como
[matemática] f (n + 2) = f (n) -f (n + 1) [/ matemática] y suponga que la solución es de la forma [matemática] f (n) = x ^ n [/ matemática]

Entonces [matemáticas] x ^ {n + 2} = x ^ nx ^ {n + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {n + 2} -x ^ n + x ^ {n + 1} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ n (x ^ 2 + x-1) = 0 [/ matemáticas]

Ignorando la solución trivial [matemática] x = 0 [/ matemática], obtenemos [matemática] x = \ frac {-1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemática] y [matemática] x = \ frac { -1- \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] f (n) = a (\ frac {-1+ \ sqrt {5}} {2}) ^ n + b (\ frac {-1- \ sqrt {5}} {2}) ^ n [/matemáticas]

De [matemáticas] f (0) = 3 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] a + b = 3 [/ matemáticas]

y de [math] f (1) = 2 [/ math] obtenemos [math] a (\ frac {-1+ \ sqrt {5}} {2}) + b (\ frac {-1- \ sqrt { 5}} {2}) = 2 [/ matemáticas]

Resolver estas ecuaciones simultáneamente da [matemática] a = 1.5 + 0.7 \ sqrt 5 [/ matemática] y [matemática] b = 1.5 – 0.7 \ sqrt 5 [/ matemática]

Entonces la forma cerrada de esta serie es

[matemáticas] f (n) = (1.5 + 0.7 \ sqrt 5) (\ frac {-1+ \ sqrt 5} {2}) ^ n + (1.5 – 0.7 \ sqrt 5) (\ frac {-1- \ sqrt 5} {2}) ^ n [/ math]

Answer 2

En primer lugar, has calculado mal tus términos. Los primeros son:

3,2,1,1,0,1, -1,2, -3,5, -8,13,…

Estos son solo los números de Fibonacci pero con signos alternativos invertidos, y comenzando en el -4 ° número.

Si F (n) es el enésimo número de Fibonacci, F (0), F (1) = 1, F (n) = F (n-1) + F (n-2), entonces sus números son:

(-1) ^ (n + 1) F (n-4)

Si desea un formulario cerrado, simplemente use un formulario cerrado para F (n) que pueda encontrar fácilmente en Wikipedia. (La forma cerrada estándar funciona para n negativo).