Cómo resolver [matemáticas] x + y + z = a, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = b, x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = c [/ matemáticas] para [matemáticas] x , y, z [/ matemáticas]

Answer 1

Transformamos este conjunto de ecuaciones en algo más familiar:

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {align} x + y + z & = a \ tag {1} \\ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 & = b \ tag {2} \\ x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 & = c \ tag {3} \ end {align} \ right. \ tag * {} [/ math]

Considere [matemáticas] (1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} (x + y + z) ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2xy + 2yz + 2xz \\ a ^ 2 & = b + 2 (xy + yz + xz) \\ xy + yz + xz & = \ frac 12 (a ^ 2-b) \ tag {4} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

A continuación, también queremos encontrar [math] xyz [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3-3xyz & = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-xz) \\ c – 3xyz & = a \ left (b- \ frac 12 (a ^ 2-b) \ right) \\ xyz & = \ frac 16 (2c – a (3b – a ^ 2)) \\ \; & = \ frac {a ^ 3} 6 – \ frac {ab} 2 + \ frac c3 \ tag {5} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora tenemos este conjunto de ecuaciones en su lugar:

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {align} x + y + z & = a \ tag {1} \\ xy + yz + xz & = \ frac {a ^ 2} 2 – \ frac b2 \ tag {4 } \\ xyz & = \ frac {a ^ 3} 6- \ frac {ab} 2 + \ frac c3 \ tag {5} \ end {align} \ right. \ tag * {} [/ math]

¿Por qué es útil esto?

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Las fórmulas de Vieta

Si denotamos las raíces a [matemáticas] x ^ 3 + px ^ 2 + qx + r = 0 [/ matemáticas] como [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas], [matemáticas] \ beta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas]. Luego al considerar

[matemáticas] \ displaystyle (x- \ alpha) (x- \ beta) (x- \ gamma) = x ^ 3 + px ^ 2 + qx + r \ tag * {} [/ matemáticas]

y al expandir el LHS, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {align} \ alpha + \ beta + \ gamma & = -p \\ \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ alpha \ gamma & = q \\ \ alpha \ beta \ gamma & = -r \ end {align} \ right. \ tag * {} [/ math]

¿No es este conjunto de ecuaciones muy similar al anterior?

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Ahora [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas] son ​​las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 3 + px ^ 2 + qx + r = 0 [ / matemáticas], solo eso ahora,

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ begin {align} p & = -a \\ q & = \ frac {a ^ 2} 2 – \ frac b2 \\ r & = – \ frac {a ^ 3} 6 + \ frac {ab} 2 – \ frac c3 \ end {align} \ right. \ tag * {} [/ math]

que ahora está listo para ser resuelto usando métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas.

Es extremadamente tedioso escribir la solución exacta usando [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], pero luego se describe el método general para resolver la ecuación cúbica abajo:

“Completando el cubo”

[math] \ displaystyle x = y- \ frac p3 \ implica y ^ 3 + sy + t = 0 \ tag * {} [/ math]

Sustitución de Vieta

[matemáticas] \ displaystyle y = z- \ frac s {3z} \ implica z ^ 6 + mz ^ 3 + n = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

Resolver cuadrático

Encuentra la raíz cúbica (considera las raíces de la unidad)

Sustituya z nuevamente por y, luego por x

Answer 2

Puede reducir fácilmente este sistema a una sola ecuación cúbica. Sin embargo, resolver una ecuación cúbica general no es simple.

Para reducir el sistema, debe leer sobre las identidades de Newton. Lo que llaman a, b, c lo llaman p1, p2, p3.

La función cúbica que terminas teniendo que resolver es:

[matemáticas] x ^ 3 – e_1 x ^ 2 + e_2 x – e_3 = 0 [/ matemáticas]

donde [matemática] e_1 = a [/ matemática], [matemática] e_2 = \ frac12 (a ^ 2-b) [/ matemática] y [matemática] e_3 = \ frac16a ^ 3- \ frac12ab + \ frac13c [/ matemática]

Answer 3

Tome x = a – (y + z) y sustitúyalo en la segunda ecuación. Entonces tienes una ecuación cuadrática en y y z. Usa la fórmula cuadrática en esa ecuación para obtener una expresión para y en términos de z. Luego, inserte todo esto en la tercera ecuación para obtener una ecuación única completamente en z. Resuelva para z, luego vuelva a enchufarlo para obtener y y x.

Answer 4

En la primera ecuación, resuelve para z, obteniendo z = a – x – y.

Inserte este valor de z en la segunda ecuación y la tercera ecuación.

Ahora tendrás dos ecuaciones en dos incógnitas, x e y.

En la segunda ecuación, puedes resolver para y, porque se puede poner en ecuación cuadrática. Una vez que resuelva para y en términos de z y las constantes, puede conectar esto a la tercera ecuación y jurar que tendrá una ecuación en una desconocida.