Cómo encontrar el conjunto del vector base de una región definida linealmente

Answer 1

Hice esta pregunta en un foro de matemáticas y me ayudaron un poco con una respuesta parcial.

En primer lugar, debemos tener en cuenta que es fácil demostrar que la región en este ejemplo no es un espacio vectorial, ya que no tiene ningún elemento (0,0). En otras palabras, no hay forma de estar seguro de si hay una base válida para este tipo de problema.

De todos modos, todavía es posible probar un enfoque similar tomando prestado un método utilizado ampliamente para resolver múltiples integrales mientras se aplica el teorema de Fubini: definir una región en [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] como sistema de intervalos [matemáticas] n [/ matemáticas] . Volviendo al ejemplo, llamemos a la región dentro del triángulo [matemáticas] S [/ matemáticas].

Si miramos en una dirección positiva al eje [matemática] y [/ matemática] y luego [matemática] x [/ matemática], podemos definir [matemática] S [/ matemática] como:

[matemáticas] 0 ≤ y ≤ 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 + y ≤ x ≤ 7-y [/ matemáticas]

Después de eso, es posible definir [math] S [/ math] como una suma de vectores unitarios al tiempo que restringe sus coeficientes escalares

[matemáticas] S = {bî + aĵ, st a ∈ [0, 1/2] ∧ b ∈ [6 + a, 7-a]} [/ matemáticas]

mientras que [math] î [/ math] y [math] ĵ [/ math] son ​​(1,0) y (0,1) respectivamente.

Esta no es una solución total al problema ya que:

• Este no es un algoritmo sino la descripción de un método analítico.
• Probablemente la región tendrá que dividirse en subregiones. [1]
• En el mejor de los casos, habrá tantas restricciones como dos veces el número de variables (en otras palabras, apenas una simplificación del problema original).

En el lado positivo, es una buena manera de poder ver el conjunto de soluciones para R⁴ y así sucesivamente.

Notas al pie

[1] Integral múltiple