¿Cuáles son las diversas pruebas para el problema de suma simple, [matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ puntos + n = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]?

Answer 1

Usando cálculo infinito para encontrar la suma de los primeros n números naturales

El siguiente gráfico es de y = x, y los rectángulos representan los números naturales 1, 2, 3, 4:

observa cuidadosamente el área debajo del triángulo, se aproxima a la suma de n números

(Suma del área de cada rectángulo que es [matemática] k * 1 [/ matemática])

[matemática] suma del área debajo del rectángulo = 1 * 1 + 2 * 1 + 3 * 1 + …… [/ matemática]

Lo que básicamente queremos encontrar es la suma del área de todos los rectángulos = Área trinagular debajo del gráfico + Error

deje que [math] S_ {n} [/ math] sea la suma de n números naturales

[matemáticas] S_ {n} \ aprox \ int_ {0} ^ {n} x ^ 2 dx [/ matemáticas]

==> [matemáticas] S_ {n} \ aprox \ frac {n ^ 2} {2} [/ matemáticas]

Con [math] E_ {n} [/ math] como el error en [math] S_ {n} [/ math]

[matemáticas] S_ {n} = \ frac {n ^ 2} {2} + E_ {n} [/ matemáticas]

Cada uno de nuestros rectángulos en el gráfico tiene un área [matemática] k * 1 [/ matemática], por lo que nuestro error es [matemática] k [/ matemática] menos el área debajo del gráfico entre [matemática] (x = k-1 y x = k) [/ matemáticas]

[matemáticas] E_ {n} = \ sum_ {1} ^ {n} (k- \ int_ {x = k-1} ^ {k} x dx) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] E_ {n} = \ sum_ {1} ^ {n} k – \ sum_ {1} ^ {n} (k + \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] E_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} (\ frac {1} {2}) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] Ahora desde S_ {n} = \ frac {n ^ 2} {2} + E_ {n} [/ matemáticas] (ver arriba)

[matemáticas] S_ {n} = \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] => S_ {n} = \ frac {(n) (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Gracias 🙂

Answer 2

Algunas pruebas visuales:

1)

Cada bola amarilla se puede representar mediante dos bolas azules correspondientes, por lo que por cada par distinto de dos bolas azules seleccionadas obtendrá una bola amarilla única. Por lo tanto, la cantidad de formas de seleccionar dos números distintos de 1 … n es igual a 1 + 2 + … + (n-1)

2)

3)

Answer 3

Deje [matemáticas] S = 1 + 2 +…. + (n – 1) + n [/ matemáticas]

Escribiéndolo al revés, obtenemos [matemáticas] S = n + (n – 1) +… 2 + 1 [/ matemáticas]

Sumando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

[matemáticas] 2S = (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) = n (n + 1). [/matemáticas]

Mueva [math] 2 [/ math] al otro lado y, por lo tanto, [math] \ sum_ {1} ^ {n} = [/ math] [math] \ dfrac {n (n + 1)} {2}. [/matemáticas]

Answer 4

Aquí hay una prueba de la historia para mostrar que [matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ nj = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas] para [matemáticas] n \ ge 1 [/ matemáticas].

Considere un grupo de [matemática] n + 1 [/ matemática] personas, etiquetada como persona- [matemática] i [/ matemática] para [matemática] 1 \ le i \ le n + 1 [/ matemática]. Suponga que la persona- [matemática] i [/ matemática] es mayor que la persona [matemática] -j [/ matemática] si y solo si [matemática] i> j [/ matemática]. Considere seleccionar un equipo de dos personas entre las personas [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] anteriores. El número de formas de hacer esto es [matemáticas] \ dbinom {n + 1} {2} = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas].

Alternativamente, podemos hacer la misma tarea de la siguiente manera: si la persona mayor en el equipo es la persona [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas], entonces podemos seleccionar una persona más de las restantes [matemáticas] n [ / math] personas en [math] n [/ math] maneras. Del mismo modo, si la persona mayor en el equipo es la persona [matemáticas] n [/ matemáticas], podemos seleccionar una persona más de las personas restantes [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] en [matemáticas] n-1 [ / matemáticas] formas. En general, si la persona mayor en el equipo es la persona- [matemática] j [/ matemática], donde [matemática] 2 \ le j \ le n + 1 [/ matemática], podemos seleccionar la persona restante en [matemática] ] j-1 [/ math] maneras. Sumando todos los valores posibles de [math] j [/ math], el número de formas es [math] \ sum_ {j = 2} ^ {n + 1} (j-1) = \ sum_ {j = 1} ^ nj [/ math].

Los dos métodos anteriores cuentan lo mismo, la cantidad de formas de seleccionar un equipo de dos personas entre [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tenemos [math] \ sum_ {j = 1} ^ nj = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ math].

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]

Answer 5

Es una progresión aritmética con primer término 1 y común n diferente. Hay n términos en la progresión.

Por lo tanto, suma = (no. De términos / 2) * (primer término + último término)

Suma = (n / 2) * (n + 1)