Cómo resolver [matemáticas] 2x ^ 5-5x ^ 4 + 5x ^ 2-2x = 0 [/ matemáticas]

La respuesta

Primero, factorice una [matemática] x [/ matemática] para obtener:

[matemática] x (2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2) = 0 [/ matemática]

Luego haga un poco de conjeturas para descubrir que puede factorizar esto como:

[matemáticas] x (x-1) (x + 1) (x-2) (2x-1) = 0 [/ matemáticas]

¿Adivinanzas?

¿Qué quiero decir exactamente con conjeturas? Quiero decir si hay ceros racionales del polinomio

[matemáticas] 2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2 = 0 [/ matemáticas]

entonces son uno de los siguientes por el teorema de racional racional

[matemáticas] \ frac {p} {q} = \ pm 1, \ pm 2, \ pm \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Comenzamos adivinando que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es una raíz de la ecuación, que es. Esto nos deja con

[matemáticas] x (2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2) = x (x-1) (2x ^ 3-3x ^ 2-3x + 2) [/ matemáticas]

Ahora, nuevamente esperamos que haya una raíz racional para [matemáticas] 2x ^ 3-3x ^ 2-3x + 2 [/ matemáticas], que (afortunadamente) la hay. Encontramos que [math] x = -1 [/ math] es una raíz, encontrando que

[matemáticas] x (x-1) (2x ^ 3-3x ^ 2-3x + 2) = x (x-1) (x + 1) (2x ^ 2-5x + 2) [/ matemáticas]

El cuadrático restante es fácil de factorizar. Concluimos encontrando la factorización final

[matemáticas] x (x-1) (x + 1) (2x ^ 2-5x + 2) = x (x-1) (x + 1) (2x-1) (x-2) [/ matemáticas]

Al establecer esto igual a cero, las soluciones a la ecuación son:

[matemáticas] x = \ pm 1, 0, \ frac {1} {2}, 2 [/ matemáticas]

Como se trata de un polinomio de quinto grado, existen hasta cinco soluciones reales. Es fácil ver que [matemática] x = 0 [/ matemática] es una solución, y [matemática] x [/ matemática] es un factor del polinomio de la izquierda: [matemática] x (2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2) = 0 [/ matemática].

El factor de cuarto grado restante tiene coeficientes enteros, por lo que según el teorema de los racionales ceros (también conocido como teorema de las raíces racionales), los únicos ceros racionales posibles son [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática] donde [matemática] a [/ math] es un factor del término constante [math] 2 [/ math], y [math] b [/ math] es un factor del coeficiente principal [math] 2 [/ math], por lo que solo hay seis posibles ceros racionales: [matemática] \ pm1 [/ matemática], [matemática] \ pm2 [/ matemática] y [matemática] \ pm \ frac {1} {2} [/ matemática]. Es bastante fácil verificar estos valores posibles y descubrir que [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática] x = -1 [/ matemática], [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] x = \ frac {1} {2} [/ math] son ​​las otras 4 soluciones a esta ecuación … lo que significa que la ecuación se puede escribir como [math] x (x-1) (x + 1) (x-2) (2x-1) = 0 [/ matemática].

Tenga en cuenta que si no hubiéramos encontrado las cinco soluciones de esta manera, pero encontramos (digamos) una o dos, podríamos haberlas factorizado mediante (por ejemplo) la división sintética, y luego haber usado otros métodos en el polinomio resultante. Por ejemplo, si los únicos ceros racionales fueran [matemática] \ pm1 [/ matemática], dividiríamos [matemática] 2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2 [/ matemática] por [matemática] (x-1) ( x + 1) [/ math] así:

1 2 -5 0 5 -2
2 -3 -3 2
———————-
-1 2 -3 -3 2 0
-2 5 -2
——————
2 -5 2 0

Eso lleva la ecuación a [matemáticas] x (x-1) (x + 1) (2x ^ 2-5x + 2) = 0 [/ matemáticas], y podríamos usar la ecuación cuadrática para resolver el factor cuadrático.

Estoy usando mi método de manipulación ya que no sé cómo se llama o si existen mejores métodos .


Estamos provistos:

[matemáticas] 2x ^ 5 – 5x ^ 4 + 5x ^ 2 – 2x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (2x ^ 4 – 5x ^ 3 + 5x ^ 2 – 2) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, inmediatamente

[matemática] \ Grande \ en caja {x = 0} [/ matemática]

es una solución, y otras soluciones están en

[matemáticas] \ implica 2x ^ 4 – 5x ^ 3 + 5x ^ 2 – 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x ^ 2 – 1) (2x ^ 2 – 5x + 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x-1) (2x-1) (x-2) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto , supongo, ya que nunca había resuelto una ecuación de quinto grado todavía

[matemática] \ Grande \ en caja {x = -1, 0, \ dfrac {1} {2}, 1, 2} [/ matemática]

La factorización fue espontánea, por lo que tuve suerte o me equivoqué

Esta no es una pregunta tan difícil. Simplemente siga las reglas básicas de factorizar la ecuación y obtendrá la respuesta.

Esta ecuación se puede resolver de la siguiente manera:

Dado,

2x ^ 5 – 5x ^ 4 + 5x ^ 2 – 2x = 0

=> 2x (x ^ 4 – 1) – 5x ^ 2 (x ^ 2 – 1) = 0

=> 2x (x ^ 2 – 1) (x ^ 2 + 1) – 5x ^ 2 (x ^ 2 – 1) = 0

=> (2x (x ^ 2 + 1) – 5x ^ 2) (x ^ 2 – 1) = 0

=> x (2 (x ^ 2 + 1) – 5x) (x – 1) (x + 1) = 0

=> x (2x ^ 2 + 2 – 5x) (x – 1) (x + 1) = 0

Esto da soluciones como:

x = 0; x = 1; x = -1 & (2x ^ 2 – 5x +2) = 0

Las raíces de la ecuación cuadrática son:

x = (5 + sqrt (25-16)) / 4 y (5 – sqrt (25-16)) / 2 (sqrt = raíz cuadrada)

=> x = (5 + 3) / 4 y (5 -3) / 4

=> x = 2 y 1/2

Por lo tanto, la solución a la ecuación dada es:

x = -1, 0, 1/2, 1, 2

¡¡Salud!!

2 x ^ 5 – 5 x ^ 4 + 5 x ^ 2 – 2 x = 0

=> x (2x ^ 4-5x ^ 3 + 5x-2) = 0

=> x (x + 1) (x-1) (2x ^ 2-5x + 2)

=> x (x + 1) (x-1) (2x-1) (x-2) = 0

La raíz de las ecuaciones son

x = 0

(x + 1) = 0 => x = -1

(x-1) = 0 => x = 1

(2x-1) = 0 => x = 1/2

(x-2) = 0 => x = 2

Raíces de la ecuación cuadrática

Está comprobado que una ecuación polinomial univariada de cinco grados no tiene expresión general de raíces. Como ejemplo especial, la ecuación anterior podría resolverse por factorización.

2x ^ 5–5x ^ 4 + 5x ^ 2–2x = 2x (x ^ 4–1) -5x ^ 2 (x ^ 2–1) = (x ^ 2–1) (2x (x ^ 2 + 1) -5x ^ 2) = x (x + 1) (x-1) (2x ^ 2–5x + 2) = x (x-1) (x + 1) (2x-1) (x-2) = 0

entonces la raíz de esta ecuación es 0, 1, -1, 1/2, 2