Si [matemática] A [/ matemática] tiene elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tiene elementos [matemática] b [/ matemática], ¿cuántos elementos hay en [matemática] A \ veces B [/ matemáticas]? Explica tu respuesta.

Answer 1

Si [matemática] A [/ matemática] tiene elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tiene elementos [matemática] b [/ matemática] , ¿cuántos elementos hay en [matemática] A \ veces B [/ matemáticas] ? Explica tu respuesta.

El número de elementos en un conjunto, [math] A [/ math], se conoce como cardinalidad y generalmente se denota [math] | A | [/ math]. En este caso, está diciendo [matemáticas] | A | = a [/ matemáticas], [matemáticas] | B | = b [/ matemáticas], y desea mostrar [matemáticas] | A \ veces B | = a \ cdot b [/ matemáticas].

Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y solo si existe una biyección (correspondencia uno a uno) entre sus elementos. Para conjuntos finitos , esto significa que podemos tener una representación canónica como un segmento inicial de los números naturales: [matemática] A_c = \ {0,1,2, \ dotsc, | A | -1 \} [/ matemática] o, si usted prefiere, [matemáticas] \ {1,2,3, \ dotsc, | A | \} [/ matemáticas]. Y hay una biyección [math] f_A \ colon A \ leftrightarrow A_c [/ math].

Podemos definir [math] f_ {AB} \ colon A \ times B \ to \ mathbb N [/ math] por:

[matemáticas] \ quad f (x, y) = f_A (x) \ cdot a + f_B (y) [/ matemáticas]

Entonces es relativamente sencillo mostrar que [math] f_ {AB} [/ math] es una biyección entre [math] A \ times B [/ math] y [math] \ {0,1,2, \ dotsc, a \ cdot b-1 \} [/ math]. Por lo tanto, [math] | A \ times B | = a \ cdot b = | A | \ cdot | B | [/ math].

La relación también es válida para conjuntos transfinitos, pero tenga en cuenta que en aritmética cardinal transfinita

[math] \ quad \ alpha \ cdot \ beta = \ max (\ alpha, \ beta) [/ math] para cardenales transfinitos [math] \ alpha, \ beta [/ math].

Entonces, por ejemplo, el número de pares de números (impares, pares) es igual al número de números impares multiplicado por el número de números pares, pero eso es igual al número de números impares (y el número de números pares, y el número de números naturales) generalmente denotado [math] \ aleph_0 [/ math]. Es decir:

[matemática] \ quad | \ text {odds} \ times \ text {evens} | = | \ text {odds} | \ cdot | \ text {evens} | = \ aleph_0 \ cdot \ aleph_0 = \ max (\ aleph_0, \ aleph_0) = \ aleph_0 = | \ mathbb N | [/ math]

Answer 2

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B devolverá un conjunto de todos los pares ordenados posibles que se pueden formar, con el primer elemento del par ordenado perteneciente a A y el segundo elemento a B.

Ahora, si hay elementos ‘a’ en el conjunto A, entonces para cada elemento, tenemos ‘b’ posibles opciones del conjunto B para formar un par ordenado.

Por lo tanto, el número total de posibles pares ordenados = b + b + b +…. (a veces)

= a * b

Entonces, número de elementos en el conjunto AxB = a * b

¡Espero que esto ayude! 🙂

Answer 3

¡Buena pregunta! Entonces escribiría [matemáticas] A \ veces B [/ matemáticas] como la unión disjunta de [matemáticas] \ {x \} \ veces B [/ matemáticas] para [matemáticas] x \ en A. [/ Matemáticas] Obviamente allí son [matemática] a [/ matemática] tales conjuntos y cada uno tiene la misma cardinalidad, a saber, [matemática] b. [/ matemática] Entonces, la cardinalidad del producto es [matemática] \ sum_ {x \ en A} | \ { x \} \ veces B | = \ sum_ {x \ en A} b = ab. [/matemáticas]

También podría hacerlo por inducción, digamos sobre el tamaño de [matemáticas] A. [/ matemáticas] Entonces, si [matemáticas] | A | = 1 [/ math] y [math] A = \ {x \} [/ math] luego [math] A \ times B = \ {(x, y) | y \ in B \} [/ math] tiene el mismo número de elementos que [math] B. [/ math] Ahora suponga que sabe que [math] | A \ times B | = | A || B | [/ math] y considere agregar otro elemento [math] x [/ math] a [math] A. [/ Math] Luego [math] (A \ cup \ {x \}) \ times B = (A \ times B) \ cup (\ {x \} \ times B). [/ Math] Como estos conjuntos son disjuntos, tienes que | [math] (A \ cup \ {x \}) \ times B | = | A \ veces B | + | \ {x \} \ veces B | = | A || B | + | B | = (| A | +1) | B | = | A \ cup \ {x \} || B |. [/ Math] No diría que esta prueba es más clara que la primera, ¡pero funciona!

Answer 4

Categóricamente, el producto cartesiano A × B es el límite del diagrama en la categoría de conjuntos que consta de solo los conjuntos A y B. Esto significa que hay proyecciones de A × B a A y A × B a B, de modo que cualquier La función en A × B está determinada únicamente por el compuesto a través de las dos proyecciones.

Suponga que A × B tiene (a × b) + k elementos. En aras de la simplicidad, llame a este conjunto la unión A # B: = {(a, b): a en A, b en B} U {1,2,3, …, k}. Digamos que la proyección en A lleva (a, b) a a en A, y la proyección en B lleva (a, b) a b en B. ¿Puedes elegir qué hacen las proyecciones a los elementos en {1,2,3 , …, k} tal que cualquier función en A # B está determinada por lo que le hacen las proyecciones después de la composición? Supongamos que decimos que todos los elementos en {1,2,3, …, k} se llevan a algunos elementos constantes a y b en A y B, respectivamente. Entonces, ¿cómo se determina la diferencia entre una función constante en 1 y la función constante en 2, en A # B? No se distinguen después de la composición, por lo que realmente no podemos distinguirlos.

De hecho, si plantea cualquier otro candidato (no numérico) para A × B, puedo darle una función del A × B real que no se determina por las proyecciones que proporciona. Sostiene que si plantea una alternativa, puedo darle una biyección única con {(a, b): a en A, b en B} que hace que sus proyecciones se conviertan en mis proyecciones bajo la biyección.

Con eso, veamos combinatoriamente por qué {(a, b): a en A, b en B} tiene | A | × | B | elementos. Dame algún elemento a en A, y el conjunto de pares (a, b) con b cualquier elemento en B es como una copia de B, pero con un a adjunto a cada elemento. Si sumo todo esto, para cada opción de a, simplemente he agregado | A | copias de | B |. El argumento funciona si arreglamos elementos de b en su lugar. Me gusta visualizar una cuadrícula, donde el eje x está indexado por elementos en A y el eje y está etiquetado por elementos en B. Luego, los pares (a, b) son literalmente coordenadas en esta cuadrícula. Podemos agregar filas y trabajar hacia abajo para obtener | A | × | B | elementos o agregar por columnas.

Answer 5

Bueno, para el primer elemento en A necesitas multiplicarlo por b número de elementos. Luego debe hacer lo mismo para el siguiente elemento en A. Para cuando llegue al último elemento en A, tendrá los elementos a * b.

Answer 6

Hablando honestamente, según la definición, el resultado es demasiado obvio para explicarlo. Puede consultar el producto cartesiano para obtener más información.