¿Cuál es la interpretación geométrica de la suma [matemática] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} {e ^ {\ frac {2i \ pi n} {N}}} [/ matemática]?

Answer 1

Resulta que la respuesta cero de Mo Hit es correcta, y la respuesta de N de OP y Awnon son incorrectas.

Awnon cometió un error al suponer asociatividad de exponentes complejos. Sin embargo, [math] e ^ {\ frac {2 \ pi in} {N}} \ neq (e ^ {2 \ pi i}) ^ {\ frac {n} {N}} [/ math] para algunos valores de n. En particular, la igualdad no se cumple para ningún valor de n que no sea múltiplo de N.

Geométricamente, los números complejos [matemáticas] e ^ {\ frac {2 \ pi in} {N}} [/ matemáticas] son ​​puntos en el plano complejo que corresponde a los vértices de un N-gon regular de radio 1 centrado en el origen . Dado que la suma de N números es igual a N veces su promedio, y debido a que el promedio de los vértices de un polígono convexo da su centro de masa, podemos decir que la suma de estos números es N veces el centro de masa de este N -gon, que ya hemos dicho está en cero. Por lo tanto, la suma es cero.

Otra forma de verlo es físicamente: trate los números complejos como N vectores de fuerza unitaria perfectamente simétricamente dispuestos alrededor del origen. Debido a la perfecta simetría de las fuerzas en todas las direcciones, la fuerza neta es cero.

Answer 2

Al usar la fórmula de Eulers, es decir, e ^ i ¥ = cos ¥ + i sin ¥, y las propiedades de suma de las series seno y coseno donde los ángulos están en ap, al simplificar la suma anterior obtenemos cero.

Por lo tanto, tomando N en el eje X y el valor de la suma en el eje y, podemos trazar un gráfico en el plano cartesiano; El gráfico será una línea que coincide con el eje X. Porque y = 0 \ – / x

O podemos decir, en el plano de Agrand, la suma representa un punto, que es el origen. Porque el valor de la suma resulta ser 0 + 0i.