Cómo resolver este problema con dos bolas y un bol

Answer 1

Si la velocidad es cero, la bola de la mano izquierda nunca llegará al otro lado. La bola de la mano derecha llegará al otro lado después de un tiempo finito, siempre que no haya pérdidas debido a la fricción.

De esto podemos concluir que para velocidades pequeñas, la bola de la mano derecha llegará primero al otro lado.

Si la velocidad es muy grande, podemos ignorar el efecto de la aceleración y la desaceleración, por lo que, para una primera aproximación, el tiempo necesario será la distancia multiplicada por la longitud de la ruta. Por lo tanto, para grandes velocidades, la bola de la mano izquierda llegará primero.

Para calcular los tiempos reales para el lado derecho, necesitamos hacer una integración compleja.

Deje que el radio del hemisferio sea r , deje que el origen sea el centro del círculo, deje que el ángulo alrededor del círculo a partir de 0 sea θ, y deje que la velocidad inicial sea u . En el tiempo t, la posición viene dada por [matemáticas] x = -r \ cos \ theta, y = -r \ sin \ theta [/ matemáticas]. La velocidad es [matemática] v = r \ frac {d \ theta} {dt} [/ matemática].

Uso de la conservación de la energía. En el tiempo [matemático] t = 0 [/ matemático] la energía potencial es 0 y la energía cinética es [matemática] \ frac12 mu ^ 2 [/ matemática] en un momento posterior t , la energía potencial es [matemática] mgy = – mgr \ sin \ theta [/ math] y la energía cinética es [math] \ frac12 mv ^ 2 [/ math]. Igualando la energía total

[matemática] 0 + \ frac 12 mu ^ 2 = -mgr \ sin \ theta + \ frac12 mv ^ 2 [/ matemática]

dividiendo entre [matemáticas] m [/ matemáticas] y reorganizando dar

[matemáticas] v = \ sqrt {u ^ 2 + gr \ sin \ theta} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] r \ frac {d \ theta} {dt} = \ sqrt {u ^ 2 + gr \ sin \ theta} [/ matemáticas]

variables de separación

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {u ^ 2 + gr \ sin \ theta}} d \ theta = \ frac {1} {r} dt [/ matemáticas]

let [matemáticas] k = gr [/ matemáticas]. Esta integración no es trivial, convirtiendo a WolframAlpha en la integral de

[matemáticas] \ int \ frac {1} {\ sqrt {u ^ 2 + k \ sin (x)}} dx = \ frac {- (2 F (1/4 (pi-2 x), (2 k) / (u ^ 2 + k)))} {sqrt (k + u ^ 2)} + constante [/ math]

donde F es una integral elíptica del primer tipo. En teoría, podría evaluar esto y encontrar la velocidad crítica cuando las dos bolas lleguen simultáneamente.

Answer 2

La pelota de la izquierda llegará al otro lado en 2r / v segundos.

La pelota de la derecha, suponiendo que no haya gravedad, llegaría al otro lado en (pi * r) / v segundos.

Tendría que hacer una integral para cuantificar exactamente cuál sería la velocidad promedio de la pelota a la derecha, pero puedo decirle de inmediato que en la parte inferior del hemisferio, su energía cinética aumentará de acuerdo con la ganancia de la gravedad. energía potencial, donde GPE = masa * aceleración gravitacional * altura = mgh.

Entonces, la energía añadida realmente = mgr. Considere el caso donde la velocidad inicial es cero. Eso significa que la velocidad total en la parte inferior se puede determinar resolviendo la energía cinética [(1/2) mv ^ 2] ya que la energía potencial gravitacional se ha convertido completamente en movimiento. Entonces: mgr = 1 / 2mv ^ 2, resuelva para v, y obtenga v = sqrt (2gr).

Lo que esto me dice de inmediato es que el resultado depende del valor de g.

Entonces, para valores suficientemente altos de g, la bola de la derecha llegará primero. Para valores bajos de g, la bola de la izquierda llega primero.

La pregunta es exactamente dónde se encuentra ese límite, pero podría resolverse formalmente (aunque no tengo tiempo para esa integral en este momento y mi cálculo está oxidado).

PD: También me parece que la solución también depende de la v inicial y de cómo esa v se relaciona con g. Porque a medida que v llega a cero, incluso valores muy pequeños de g conducirían a que la bola ganara correctamente.

Entonces, en general, no hay suficiente información para resolver esto. Sin embargo, podría reunir una descripción general del sistema y decir cómo varía el resultado con v, g. y r. Sin embargo, no parece que esa sea la intención del problema.

Answer 3

Gracias por el A2A.

Personalmente no tengo ganas de resolver las matemáticas en este momento (y puedo ver que otras personas ya lo han hecho).

De todos modos, puedes decir con certeza (sin hacer los cálculos) que la pelota del lado derecho llegará primero al extremo opuesto. ¿Cómo? Tu puedes preguntar. Simplemente piense en el sistema en términos de energía mecánica.

Las dos bolas comienzan a la misma velocidad v y, en consecuencia, ambas comienzan con la misma energía cinética. La pelota de la izquierda no tiene ganancia de energía potencial ya que está a una altura constante durante la duración del viaje (si entra en juego la fricción, habrá una disminución constante de la energía cinética ya que parte se pierde por el calor). La bola de la derecha ganará algo de energía cinética cuando llegue al punto más bajo del hemisferio. Esto dará como resultado un aumento en la velocidad. A medida que la pelota sube por el hemisferio, la pelota perderá toda la energía que ganó, lo que hará que la pelota alcance el punto final a la misma velocidad con la que comenzó.

Entonces…

Bola izquierda: velocidad constante v

Bola derecha: Velocidad constante v -> alguna velocidad más que v – terminando a la velocidad original v

Me parece que siempre se garantiza que la pelota de la derecha llegue primero.

Me gustaría agregar otro punto, ya que es relevante para la pregunta:

El conocimiento común afirma que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. Esto a menudo da como resultado una suposición incorrecta de que la ruta más rápida entre dos puntos es una línea recta. El camino más rápido entre dos puntos es la brachistochrone (que es lo que este problema intenta hacer que pienses a pesar de que ninguno de los dos caminos aquí es un brachistochrone para estos dos puntos)

Answer 4

La pelota que va por la ruta directa recorre una distancia de 2R en 2R / V segundos.

La segunda bola viaja una distancia de pi R a una velocidad de V + X, donde X es la velocidad de la bola a medida que acelera hacia el centro y luego desacelera hacia el otro lado.

La aceleración de la pelota por el lado curvo del bol es de 1/2 g, o 4.9m / s / s. Es decir, la bola acelera en g en la parte superior de su caída, y disminuye uniformemente a cero aceleración en la parte inferior, para un promedio de 1/2 g de aceleración, 4.5 m / s / s para su viaje al final de la curva .

Su velocidad será la mitad de esa aceleración [0 en la parte superior, la velocidad final en la parte inferior, promediando la mitad de la velocidad final sobre la distancia total].

Su velocidad para la primera mitad de su viaje será:

1/4 x 9.8 x pi R / 2

[pi R / 2 es el 1/4 de la circunferencia que viaja al fondo del tazón]

X = 2.45 m / sx 3.14 x R / 2

Si el bol tiene un radio de 2 metros, la pelota viajará pi x 2m / 2 [pi m, 3.14m] a una velocidad de 7.7 m / s para llegar al fondo del bol.

El viaje de regreso al otro lado será simétrico, tendrá la misma velocidad y volverá a una velocidad final de cero. la velocidad para todo el viaje de media circunferencia será de 7.7 m / s.

Por lo tanto, X: la velocidad de la bola que viaja una media circunferencia debido a la conversión sin fricción del potencial en energía cinética y viceversa, será

X = 2,45 m / s * pi R / 2, aproximadamente.

Para nuestro gran tazón con un radio de 2 m, la bola sin fricción o deformación llegará al lado más alejado, pi R [6.28 metros] de distancia, después de aproximadamente 0.82 segundos.

Por lo tanto, el punto de equilibrio V será:

t1 = 2R / V

t2 = V + (pi R / 2.45m / sx pi R / 2)

donde t1 = t2,

2R / V = ​​pi R / (V + (pi R / 2.45 x pi R / 2))

Obviamente, donde V es pequeño, la pelota de la derecha llega primero. Donde V es grande, la X adicional fija no es suficiente para alcanzar la distancia más larga que la pelota de la derecha debe viajar.

En el caso de nuestro recipiente de radio de 2 m, si V es 4 m / s, entonces 4 m / 4 m / s = t1 = 1 segundo.

t2 será 6.28m / (4m / sec + 7.7m / s) = 0.52s

Si arrancamos V hasta 10 m / s:

t1 = 0.4s

t2 = 0.35s

Si V = 20 m / s,

t1 = 0.2s y

t2 = 0.22 segundos (ahora la segunda bola es más lenta)

Estoy demasiado cansado en este momento para resolver adecuadamente 2R / V = ​​pi R / (V + (pi R / 2.45 x pi R / 2)) pero estas aproximaciones en serie sugieren que la respuesta es razonable, y que el punto de equilibrio V para un tazón de 4 metros de ancho es algo así como 14 m / s.

Esto es un poco desordenado, con unidades y cosas así, por lo que existe la posibilidad de error: estoy entrecerrando los ojos y digo “Ok, entonces la aceleración hacia el fondo de un cuarto de esfera debería ser 1/2 de la de un cuerpo que cae libremente … “Sin demostrar adecuadamente por qué, etc., pero es intuitivamente correcto.

Answer 5

La pelota de la izquierda viaja en un tiempo = 2R / v, la pelota de la derecha es un poco más complicada con la velocidad inicial y la aceleración hacia abajo del bol. Pero en el fondo la aceleración es cero y luego la ecuación del movimiento del arco evaluado en el fondo (ángulo cero) solo depende de la velocidad inicial, la distancia del arco vxt = πR / 2.

Luego, el tiempo total para completar el arco t = πR / v, ¡la bola de la izquierda gana!

La bola en el bol acelera la mitad del tiempo y se desacelera para una velocidad tangencial promedio v.

Answer 6

Bola [matemática] 1 [/ matemática], llega al otro lado en [matemática] \ dfrac {2r} {v} [/ matemática] segundos, usando el hecho de que [matemática] \ text {tiempo} = \ dfrac {\ text {desplazamiento}} {\ text {velocidad}} [/ math]

Bola [matemática] 2 [/ matemática], entra en el arco circular y está en movimiento circular.

Aquí [matemáticas] v = r \ omega [/ matemáticas]

Distancia total recorrida [matemática] = \ pi r [/ matemática]

Tiempo necesario [math] = \ dfrac {\ pi r} {r \ omega} = \ dfrac {\ pi} {\ omega} [/ math]

Tenga en cuenta que en caso de movimiento circular, la [matemática] v [/ matemática] calculada es la velocidad lineal

---

Supongamos que las bolas llegan al otro lado al mismo tiempo.

Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {\ pi r} {v} – \ dfrac {2r} {v} = 0 [/ matemáticas]

Como [math] v \ neq 0 [/ math], multiplicando por [math] v [/ math] da …

[matemáticas] \ implica \ pi r – 2 r = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r (\ pi – 2) = 0 [/ matemáticas]

Ya sea [matemática] r = 0 [/ matemática] o [matemática] \ pi = 2 [/ matemática], ambos son imposibles.

---

[matemáticas] \ dfrac {\ pi} {\ omega} – \ dfrac {2r} {v} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ pi v – 2 \ omega r = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v = \ dfrac {2 \ omega r} {\ pi} [/ matemáticas]

Esta tiene que ser la velocidad inicial si las bolas alcanzan el otro extremo al mismo tiempo.

---

Usando la ley de conservación de la energía, tratando el objeto como un punto de masa [matemática] m [/ matemática] kg. El objeto cae una altura máxima [matemática] r [/ matemática].

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} mv_ {m} ^ {2} = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 + mgr [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v_m = \ sqrt {v ^ 2 + 2gr} [/ matemáticas]

Velocidad inicial de la pelota [matemáticas] = v [/ matemáticas]

Velocidad máxima [matemática] = \ sqrt {v ^ 2 + 2gr} [/ matemática]

[matemáticas] v (h) = v_0 + \ sqrt {v ^ 2 + 2gh} [/ matemáticas]

Ahora tenemos [math] \ dfrac {2r} {v} [/ math] y [math] \ dfrac {\ pi r} {v + \ sqrt {v ^ 2 + 2gh}} [/ math] para comparar

Answer 7

El tazón podría reemplazarse por un péndulo que tenga un período semi

T = PI * SQRT (r / g), entonces la velocidad promedio para Vi = 0 es

v = PI * r / T = SQRT (r * g) y para cualquier Vi (velocidad inicial) el tiempo para dar la vuelta es

t = PI * r / (Vi + v) por superposición de velocidad (abierto para discutir)

Para una velocidad inicial crítica, ambos tiempos de ruta deben coincidir

2 * r / Vc = PI * r / (Vc + v) o 2 * r * (Vc + SQRT (r * g)) = PI * r * Vc, entonces la velocidad crítica es

Vc = 2 * SQRT (r * g) / (PI-2)

Velocidades más lentas permitirán que el péndulo alcance adelante

Answer 8

Primero, considerando que las esferas están equilibradas incluso con los pesos de las bolas.
En el primer caso, la pelota tiene que viajar el diámetro de la esfera, digamos ‘d’, con una velocidad ‘v’. Entonces el tiempo de nivelación ‘t’ es v / d.
Por otro lado, esta bola tiene que viajar la mitad del perímetro del círculo (la fuerza gravitacional sobre la bola se iguala a cero a medida que sufre tanto + gy -g en su recorrido). Ahora la distancia es πd / 2 con v velocidad. Tiempo de viaje t = πd / 2v.
Aprovechando estos dos tiempos de viaje, está claro que la pelota en el primer caso reaxh primero.
PD: no soy un genio de las matemáticas

Answer 9

Alguien resolverá esto matemáticamente, pero no tengo tiempo para eso en este momento y pensé que podría darle una respuesta razonable mientras espera que alguien haga algunas matemáticas de nivel A.

Para valores bajos de v y dependiendo de cómo se restringe la bola, incluso las negativas, la bola que puede acelerar y desacelerar con la gravedad debería ser la primera.

Baso la respuesta en el hecho de que para [math] v \ le 0 [/ math] ganará;)

Answer 10

La pelota de la derecha tiene una velocidad inicial de v y una velocidad final de v también. Al bajar acelera y al subir desacelera. Entonces, si promedia la velocidad de dos puntos cualquiera de la misma altura, termina con una velocidad promedio de v en todo el recorrido. Pero esta pelota tiene que recorrer un camino más largo, por lo que lleva más tiempo.

La pelota de la izquierda llega primero