Te daré un método para elevar números complejos a una potencia.
Sea [matemático] z = a + [/ matemático] [matemático] i [/ matemático] [matemático] b [/ matemático] sea un número complejo tal que [matemático] e ^ z = i [/ matemático]
Encontrar [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] significa encontrar [matemáticas] e ^ {iz} [/ matemáticas].
[matemáticas] e ^ z = e ^ {\ left (a + ib \ right)} = e ^ a \ cdot e ^ {ib} \ tag {eqn.1} [/ math]
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Según el teorema de De Moivre, escribimos la ecuación 1 de la siguiente manera.
[matemáticas] e ^ z = e ^ a \ cdot \ left (\ cos b + i \ sin b \ right) \ tag {eqn.2} [/ math]
¿Cuándo será eqn.2 igual a [math] i [/ math]? Es cuando [math] a = 0 [/ math] y [math] b = \ dfrac {\ pi} {2} + 2n \ pi \ text {, n} \ in \ mathbb {Z} [/ math]
[matemáticas] \ implica e ^ {iz} = e ^ {i \ cdot i \ cdot \ left (\ dfrac {\ pi} {2} + 2n \ pi \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {- \ left (\ dfrac {\ pi} {2} + 2n \ pi \ right)} \ text {, n es cualquier número entero} \ tag {eqn.3} [/ math]
Eqn.3 es la solución requerida. ¿Notó que el resultado es puramente real?