¿Cuál es la función de transferencia en la teoría de control?

Answer 1

La función de transferencia proporciona la relación entre la entrada y la salida de un sistema de control.

Definición : La función de transferencia en un sistema de control puede definirse como la relación entre la transformación de laplace de salida y la de la transformación de laplace de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales sean cero.

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Para cualquier sistema de control existe una entrada de referencia denominada excitación o causa que opera a través de una operación de transferencia denominada función de transferencia y produce un efecto que produce una salida o respuesta controlada. Por lo tanto, la relación de causa y efecto entre la salida y la entrada está relacionada entre sí a través de una función de transferencia.

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¿Por qué usamos transformadas de Laplace?

La función de transferencia de un sistema se utiliza principalmente para el análisis matemático de un sistema. En la mayoría de los casos, la entrada y la salida del sistema no son de la misma categoría. Por ejemplo, un motor convierte la energía eléctrica en energía mecánica. La entrada y la salida son cantidades diferentes. Es más importante representar la entrada y la salida en la misma cantidad para el análisis matemático. Por lo tanto, utilizamos transformadas de Laplace para la conversión de todo tipo de señales a una forma común.

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¿Qué significa que las condiciones iniciales son cero?

Al descubrir la función de transferencia no consideramos las condiciones iniciales del sistema. Es decir, no nos preocupamos por las condiciones del sistema.

En realidad, el enfoque de la función de transferencia es aplicable solo para sistemas lineales invariantes en el tiempo. Todos los sistemas de control eléctrico contienen elementos R, L o C o una combinación de cualquiera de ellos. Estos parámetros son linealmente invariantes en el tiempo, es decir, sus valores no cambian con el tiempo. Como estos parámetros son independientes del tiempo, seguimos el mismo enfoque hacia cualquier sistema de control. Por lo tanto, consideramos que todas las condiciones iniciales son cero.

Answer 2

Corto: La función de transferencia de un sistema es un mapa de las entradas de un sistema a las salidas del sistema. Entonces, cualquier sistema es visto como algo que toma algo de entrada (típicamente una función del tiempo) y luego genera una salida (otra función del tiempo).

Largo:
Un ejemplo de un sistema sería un conjunto de ecuaciones diferenciales, con una entrada desconocida en la mezcla:

dx (t) / dt + x (t) = u (t)
Que puede modelar algunos sistemas simples, como la velocidad angular x (t) de una rueda giratoria en un motor con algo de fricción viscosa en el rodamiento.

El punto es que si me preguntas cómo se comporta la velocidad angular a medida que pasa el tiempo, eso es lo mismo que preguntarme qué es x (t). Para decirte eso, debes darme u (t).

Bajo algunas condiciones matemáticas adecuadas, cada función única u (t) que me asignes, me da una función resultante única x (t). Si me das una mala función u (t), entonces tal vez limites x (t) cuando t va al infinito = infinito, lo cual no es deseable. Si me das una buena u (t), tal vez el límite de x (t) cuando t va al infinito es 1, lo que queremos por alguna razón. Si su sistema está diseñado de una manera específica, a veces no importa qué u (t) me proporcione, limite x (t) como t -> infinito = 1, lo que algunas personas podrían decir que es un comportamiento excelente.

Entonces, ahora, ¿puedo decirte qué x (t) obtienes por cada u (t) que me das? Si tuviera la función de transferencia H del sistema, entonces sí. Cuando su sistema está modelado por un sistema de tiempo invariante lineal, entonces es bastante posible obtener la función de transferencia.

Desafortunadamente, si me das u (t) en el dominio del tiempo, entonces mi respuesta para x (t) involucra algunas integrales y no es fácil ver qué es x (t). Nos salvamos al pasar al dominio de la frecuencia, que logramos al transformar todo a través de una Transformada de Laplace.

entonces, si tuviera u (t), lo mapeo por mi función de transferencia basada en el tiempo Ht, y así
x (t) = Ht * u (t)
donde * representa ‘operando’ o ‘actuando’ o lo que sea.

y generalmente la operación * es en realidad una integral que rara vez es legible. Realizamos el siguiente truco:
deja que la transformación de Laplace sea L.
entonces, U (s) = L * u (t)
X (s) = L * x (t)
hemos tomado nuestras funciones basadas en el tiempo y las hemos transformado en algo que depende de s, generalmente considerado como frecuencia.
Este tipo de resultados en una nueva función de transferencia Hs.
X (s) = Hs * U (s) = H (s) U (s)
donde el ‘funcionamiento sobre’ es solo una simple multiplicación, no una integral.

Así que ahora, H (s) es la función de transferencia, y más específicamente, cuando dicen función de transferencia en una clase de controles, se refieren a H (s), lo cual es inexacto ya que es una forma posible del mapa desde las entradas hasta salidas. Sin embargo, es probablemente el más útil.

Si me das alguna entrada de control U (s) (equivalente a u (t)), la multiplico por H (s) (álgebra simple) y obtengo X (s) y esa es mi función de salida resultante. Por supuesto, si insiste en obtener x (t), solo tiene que usar la inversa de la transformación de Laplace
x (t) = L ^ {- 1} * X (s)

Pero el punto es que H (s) es lo que le dará la salida X (s) para cualquier entrada U (s), y satisface mi definición de una función de transferencia para un sistema.

Lo bueno es que muy a menudo no tenemos que saber qué U (s) es específicamente para saber si X (s) será agradable o no. A veces, todo lo que necesita saber es si U (s) es constante, o sinusoidal, o una función de rampa, y sabe que X (s) es algo donde x (t) siempre permanecerá en cero, o nunca se convertirá en infinito, o algo más que es bueno.

Y para saber esto, solo tiene que analizar H (s). Y para los sistemas LTI, H (s) es típicamente una relación de dos polinomios en s. Esta es la razón por la cual una clase de sistemas de control de pregrado parece un curso abstracto en el análisis de proporciones de polinomios en s.

Que es lo que hacen en las clases de controles hoy en día sin que cada uno explique qué H (s) es de manera aceptable.

Los sistemas de controles lineales pueden verse como el uso de una función K (s) que modifica la función de transferencia de bucle cerrado T (s) para que la salida Y (s) o y (t) tenga buenas propiedades sin importar la entrada (en esta señal de referencia de caso R (s) es. A veces se preocupan por si y (t) cruza tal vez 1.2 veces r (t). O les preocupa la rapidez con que y (t) alcanza el 90% de r (t). El punto es que puede responder estas preguntas a menudo sin preocuparse por r (t), y solo mirar la función de transferencia es suficiente. Es bastante genial, cuando lo piensas.

Answer 3

Una función de transferencia representa la relación entre la entrada y la salida de un sistema lineal expresado con la transformada de Laplace.

Ahora puede preguntar, ¿cuál es la entrada, la salida y cómo se modela el sistema?

Modela el sistema con un conjunto de ecuaciones diferenciales, como [matemática] c \ frac {d x_2 (t)} {dt} = k (x_1 (t) -x_2 (t)) [/ matemática] (esta ecuación representa un resorte y un amortiguador conectados en serie, donde [matemática] x_1 [/ matemática] es el alargamiento del resorte y [matemática] x_2 [/ matemática] el desplazamiento del amortiguador).

En este ejemplo, la entrada es [matemática] x_1 [/ matemática] y la salida [matemática] x_2 [/ matemática]. Ahora aplica la transformada de Laplace a la ecuación para obtener una ecuación polinómica en lugar de una ecuación diferencial, para simplificar.

Llame a [math] X_1 (s), X_2 (s) [/ math] la transformada de laplace de [math] x_1 (t), x_2 (t) [/ math], entonces el resultado es:

[matemáticas] sc X_2 (s) = k (X_1 (s) -X_2 (s)) [/ matemáticas]

y finalmente encontramos la relación entre [matemáticas] X_2, X_1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] X_2 (s) = \ frac {k} {sc + k} X_1 (s) [/ matemáticas].

Como puede ver, la relación es [matemática] \ frac {k} {sc + k} [/ matemática] donde el numerador y el denominador son polinomios en [matemática] s [/ matemática]. Sabiendo que ahora puede estudiar el sistema y lo que sucede entre [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas]

Answer 4

La teoría del control se trata de calcular e implementar sistemas para controlar algún proceso externo. Ese proceso puede ser calentar su casa o controlar el suministro de combustible a un cohete espacial. En todos los casos, desea obtener un resultado deseado de su proceso y lo controla girando una perilla o proporcionando una función más compleja para impulsar el proceso.

Cuando desee aumentar la temperatura en su casa, por ejemplo, subirá el termostato a la temperatura requerida. Su sistema de calefacción se encenderá y comenzará a escuchar su casa. Después de un tiempo, tal vez una hora, la casa alcanzará la temperatura requerida y la calefacción se apagará. Ahora la casa comenzará a enfriarse y en algún momento la calefacción se encenderá nuevamente y así sucesivamente.

En este ejemplo, su termostato es el dispositivo de control. Mide la temperatura ambiente y, dependiendo de la temperatura que necesite, activará o desactivará la alimentación.

Si modela este dispositivo de control, tendrá un valor de entrada (punto de ajuste), una temperatura medida (salida) y una comparación entre estos dos (retroalimentación y diferencial). También modelará la respuesta del sistema de calefacción, que es un cambio muy lento de temperatura. Cuando reúnes todo eso, puedes simular tu sistema.

Esta es esencialmente una función matemática que toma su entrada (ajuste del termostato) y produce la salida (la temperatura de la casa). Esa función se llama la función de transferencia de este sistema.

Las funciones de transferencia son típicamente ecuaciones diferenciales y la teoría de control propone muchas herramientas y enfoques estándar para desarrollar y resolver estas funciones de transferencia.

Answer 5

En su forma más simple, en un bucle de control, una función de transferencia es la relación entre la salida y la entrada.

Salida = Función de transferencia * Entrada

En la mayoría de los casos, hay múltiples pasos entre la entrada y la salida junto con algunos comentarios también. Sin embargo, generalmente puede resolver el diagrama de bloques para condensarlo en una sola función de transferencia.

Answer 6

La función de transferencia en el dominio de frecuencia, cuando se multiplica por la señal de entrada, le proporciona la respuesta de salida de estado cero (lo que significa que todas las condiciones iniciales son cero). Esto es idéntico a convolucionar la respuesta de impulso de un sistema con la entrada para obtener una salida, es decir.
y (t) = h (t) * x (t).

En el dominio de la frecuencia, la convolución (*) se convierte en multiplicación y obtienes Y (jw) = H (jw) X (jw), donde H es la función de transferencia.