Cómo explicar la teoría de grupo a un niño de secundaria

Answer 1

Lo que haría es hablar de enteros modulares. Primero haga que vean que si toma el resto después de la división por, digamos, 9, cuando suma o resta, los restos también suman o restan. Para 9, esto corresponde a una regla de divisibilidad bien conocida que deberían conocer. Luego puede escribir una tabla de suma y ver si obtienen eso. También puede hacer un grupo [math] \ mathbb {Z} _n [/ math] bajo multiplicación, pero comience con un primo n. Muestre que tiene propiedades similares. Luego puede hacer un grupo de permutaciones, como [math] S_4 [/ math]. También puede dejar que piensen en [math] \ mathbb {R} ^ {+} [/ math] en multiplicación y [math] \ mathbb {R} [/ math] en suma y se den cuenta de que tienen propiedades comunes, y muestra una asignación a través de la función [math] \ log [/ math].

En resumen, en lugar de definir las cosas formalmente, haría un montón de ejemplos simples y los ayudaría a ver que hay algo común en todos estos casos. Y luego puede extraer esas cosas como una definición de un grupo, y hacer algunas pruebas simples, como la singularidad de un inverso.

Answer 2

Ok, comenzaría con mapeos. Los niños de secundaria deberían saber cómo hacer esto de todos modos. Tome dos cosas del mismo tamaño, no importa qué, y defina una regla que pueda aplicar a cualquier elemento en la primera columna que lo convierta en un elemento en la segunda columna. Esta regla se conoce como operador unitario.

Ahora, definamos un operador que use dos términos. Necesitamos tres columnas para esto. Esta vez, sin embargo, haremos las cosas de manera ligeramente diferente. Las tres columnas deben ser idénticas. Si conecta cualquier elemento en la primera columna con cualquier elemento en la segunda columna, la aplicación de la regla debe producir un elemento en la tercera columna. Esto se llama cierre.

Hasta aquí todo bien. Como la tercera columna es la misma que las otras dos, puede usar el valor como una de las dos entradas la próxima vez. Entonces, si tiene tres valores, puede tomar los dos primeros, obtener un nuevo valor y combinarlo con el tercero. Para ciertas reglas, pero no todas, puede tomar CUALQUIERA dos, obtener el resultado y combinarlo con el final y no importa con qué dos comience, siempre obtendrá el mismo resultado final. Estas son reglas asociativas.

Usando estas mismas columnas, veamos si hay un elemento de identidad. Un elemento de identidad, cuando se combina con algún otro valor, siempre producirá ese otro valor, sin importar en qué orden se combinen los dos.

Finalmente, necesitamos ver si hay un inverso. No importa qué elemento elijas, existe un segundo elemento tal que combinarlos produce el elemento de identidad.

Si algo tiene cierre, es asociativo, tiene un elemento de identidad y tiene inversos, entonces es un grupo.

Los enteros y la operación de suma son un grupo. Los enteros con multiplicación no lo son, ya que el valor de la mitad no es un entero.

Un número binario de longitud fija en notación de complemento a dos y la operación AND es un grupo. La operación OR no es: el único valor que siempre deja al otro sin cambios es 0, por lo que esa es la identidad, sin embargo, no hay ningún valor que pueda OR con 1 para producirlo, por lo que no existe inversa.

Answer 3

Saca un cubo de rubik. Elija una secuencia arbitraria de 4 o más vueltas, y repítala una y otra vez hasta que regrese a donde comenzó. Demuestre que esto siempre sucederá independientemente de la secuencia de movimientos que elija.

En este punto, tal vez en realidad dé una definición de grupo. Señale que lo que está observando con el cubo de Rubik es un grupo, donde los elementos del grupo son clases de equivalencia de secuencias de movimientos.

Si todavía tiene interés en este punto, haga un bosquejo de prueba del teorema de Lagrange y señale que contando cuántas veces tenemos que repetir nuestra secuencia de movimientos, podemos obtener información sobre cuántas posiciones posibles hay en total. un cubo de rubik

Señale que jugar con un cubo de rubik de 3 × 3 pero solo prestar atención a los bloques de la esquina es equivalente a jugar con un cubo de rubik de 2 × 2. Hable acerca de cómo puede representar un cubo de Rubik 2 × 2 como un grupo de cocientes eligiendo un subgrupo normal apropiado del caso 3 × 3.

Creo que los cubos de Rubik son una buena manera de introducir a las personas a la teoría de grupos porque son simultáneamente objetos físicos concretos que uno puede entender intuitivamente, y grupos finitos con una estructura muy complicada.

Answer 4

Creo que los grupos Diedro son una muy buena introducción. Por un lado, son concretos y relativamente fáciles de entender. Por otro lado, no son abelianos, no son numéricos y solo tienen una operación significativa, por lo que capturan parte del sabor único de la teoría de grupos.

Answer 5

Grupos de simetría fue como nos lo enseñaron en la escuela secundaria. Nos presentaron al grupo cíclico general, al grupo Klein 4 y al grupo Triángulo, y nos mostraron cómo este último es isomorfo al grupo de permutación de 3 elementos. IIRC no fuimos mucho más allá que eso, excepto que recuerdo que el maestro nos enseñó Cierre, Asociatividad, Identidad e Inversión (“Caín, ¿ves?”) Y luego agregué la conmutatividad: (“Abel, ¿ves?”) Y supongo eso debe haberse quedado porque eso fue hace 40 años. John Simons, haz una reverencia.

Answer 6

Tengo una buena perspectiva sobre esto, ya que la primera vez que alguien intentó enseñarme esto tenía 14 años y estaba en noveno grado. Fue terrible porque no estaba del todo listo para lidiar con este nivel de abstracción y no le encontré mucho uso. Por lo tanto, una buena idea que puedo darle desde el otro extremo es enfocarse en las motivaciones para incluso pensar de esta manera, analizar problemas específicos que requieren la teoría y luego desarrollar cada concepto lentamente, tal vez dedicar un tiempo a revisar los antecedentes y hacer Claro que es sólido. Finalmente aprendí bien la teoría de grupos unos dos años después, y fue mucho más divertido, pero la primera vez fue una experiencia horrible, ya que no estaba en el nivel necesario para sumergirme aquí primero.