¿Hay alguna forma innovadora de asegurarse de que los estudiantes entiendan el cálculo en las escuelas secundarias?

La mejor manera de aprender cálculo es aprenderlo de la manera en que se inventó por primera vez, como un método para responder preguntas sobre cosas concretas como la mecánica y el movimiento. La mayoría de los libros de texto de cálculo en estos días cubren el cálculo como una asignatura de “matemática pura” o como una asignatura de “matemática aplicada” con miras a la ingeniería. Ambos puntos de vista son “incorrectos” y están divorciados de las raíces motivadoras verdaderas y originales del cálculo.

Así que desafortunadamente no conozco buenos recursos para aprender directamente el cálculo de esta manera. Lo mejor que puedo sugerir actualmente es leer cualquier libro de cálculo en conjunto con cualquier libro de mecánica clásica que use cálculo (esta parte es importante; hay muchos libros de mecánica que no usan cálculo, y debes evitarlos).

También es útil hacer algunos experimentos por tu cuenta; por ejemplo, puede replicar algunos de los experimentos clásicos de Galileo http://en.wikipedia.org/wiki/His…. Dado el equipo moderno, esto debería ser bastante fácil de hacer.

A2A, como un estudiante de secundaria que planea estudiar matemáticas en la universidad o en un campo basado en matemáticas, leer las respuestas a continuación me entristece.

En los Estados Unidos, existe este sesgo general contra las matemáticas. No sé si es porque el sistema educativo tiene algunas fallas que podrían mejorarse, o la cultura de las familias de los estudiantes, pero creo que este sesgo está limitando a nuestros hijos a obtener esa base matemática que los ayudaría con más avanzados matemáticas.

De todos modos, antes de desviarme de mi opinión sobre los estudiantes de matemáticas, creo que para comprender el cálculo, los niños deben tener una base sólida con álgebra y trigonometría.

El problema con el álgebra es que los niños (como yo hace mucho tiempo) no pueden entender que las variables x e y tienen valores numéricos. Tuve que volver a aprender eso muchas veces. Tal vez si los niños a una edad temprana tuvieran un juego en el que el maestro tomara un número y le pusiera una “máscara” o “disfraz” como x o y, y luego los niños jugaran con ecuaciones para descubrir qué había detrás de la máscara o el disfraz , álgebra sería más atractivo.

Con la trignometría, creo que los maestros no se estresan lo suficiente sobre el círculo unitario. Este podría ser mi sesgo como aprendizaje visual, pero imaginar el círculo unitario y poder ver sin (x) como la coordenada “y” y cos (x) como la coordenada “x” me ayudó mucho en el cálculo.

Como Peter Flom dijo a continuación, la tasa de cambio y el área bajo una curva no necesitan ser abstractos. Creo que si los estudiantes tuvieran imágenes en su mente a las que pudieran hacer referencia o dibujar cuando no estuvieran seguros de un problema, a la larga sería de gran ayuda aprender matemáticas.

Esto no es innovador, pero creo que si los maestros hacen referencia a problemas más simples cuando presentan problemas complejos a los estudiantes, entonces los estudiantes están más motivados para resolverlos porque sienten que el desafío es familiar. Tampoco tendrán miedo de pedir ayuda porque sienten que al menos han progresado.

Como solo estoy en la escuela secundaria y solo he enseñado a personas en Cálculo, no tengo que enseñar material nuevo, y además soy un aprendiz visual, asegúrese de tomar mi respuesta con un grano de sal. ¡Buena suerte en explorar métodos de enseñanza!

Como estudiante universitario que tuvo el beneficio de un excelente maestro de cálculo de secundaria, hay muchas maneras diferentes en que uno puede hacer que el cálculo sea atractivo. Mi profesor de secundaria era un tipo extremadamente generoso, chistoso. Ahora, para ser justos, fui a una escuela secundaria que, aunque pública, no era realmente la típica escuela secundaria estadounidense; muy WASPy, muy académico, muy enfocado, bien hecho y competitivo. Tuvimos una tasa de aprobación del examen de Cálculo AP del 100% con un 4 o mejor, y un 85% con 3 o mejor en todos los exámenes AP tomados, y donde era una práctica común para los estudiantes de segundo año de HS tomar sus primeros cálculos AP (Estadísticas) en el Al mismo tiempo que la geometría, y hacerlo bien.

Pero yo divago. Mi maestro de cálculo realmente nos ayudó a todos a tener éxito a través de varias maneras. Como jefe de nuestro departamento de matemáticas, presidió un sistema donde cada nivel conducía directamente al siguiente. De hecho, creo que hizo hincapié en una cultura de aprender realmente el material, no a través de calificaciones individuales, sino como un grupo, a través de los medios necesarios.
Nuestro maestro de álgebra II, un doctorado, daría “cuestionarios de compañeros de clase abiertos”, donde cualquier estudiante en la sala es un juego justo para ayudarte. En lugar de la respuesta “normal” donde nadie haría su parte y compartiría (es decir, copia) de los expertos locales, todos querían llevar su propio peso, contribuir al colectivo. Significaba que no tenía miedo de preguntar sobre algo que no entendía, que todos sabían con qué luchaban los demás y que sus compañeros los ayudaban para que el colectivo tuviera éxito. Era casi una fuente de vergüenza que necesitaras preguntarle a alguien en esa clase, así que aprendiste el material y lo aprendiste bien. Nadie falló, y todos pasaron de esa habitación con una comprensión íntima del Álgebra.
Pero más allá de eso, en Geometría, en Estadística, en Precálculo, nuestros maestros encontraron anétodos humorísticos, formas únicas de hacer que sus estudiantes entiendan de qué estaban hablando. Los fundamentos son importantes para el cálculo, y un aspecto importante del mismo es que un departamento debe estar dirigido de arriba hacia abajo; ese departamento de matemática se centró en que cada estudiante alcanzara el nivel más alto de matemática posible, y estaba integrado, no fragmentado.
Pero en la clase Calc en sí?
1) nos dio de comer. No conozco todas las escuelas secundarias, pero éramos niños gruñones, cansados ​​e improductivos cuando teníamos hambre. La salvación llegó en forma de galletas, pastelitos, dulces, refrescos, helados, disponibles al comienzo de la clase, mientras revisábamos las tareas de las noches anteriores, después de lo cual, le dimos nuestra atención como un gesto de agradecimiento (creo que si no, simplemente nos gustó el tema)
2) recompensas. ¿Coches de caja de cerillas, alguien? ser el primero en integrar correctamente el área debajo de la curva.
3) Humor: encontró una manera de hacer que cada tarea fuera divertida; una caricatura, una foto, incluso una receta para el chile de la última vez que promovieron “estudios interdicipliales” (no pregunte), una propuesta de viaje de campo a la cantera para conocer las tasas de cambio y cantidad. C se convirtió en Big C de Texas, Calculus se convirtió en CATculus (= ^ ・ ^ =), etc.
4) Profundidad: nos daría la tarea durante 2 semanas a la vez, en un paquete grande. Nos daría la clave de la solución; no solo la respuesta final, sino cómo se supone que debes llegar allí, el procedimiento completo. Y:
5) CADA tarea asignada tenía un valor en puntos, pero nunca fue recolectada ni calificada. Era un cien automático en cada set. cada examen tenía crédito extra. Y:
6) por eso, nadie nunca reprobó su clase. Sin embargo, al igual que Algebra II, siento que no queríamos avanzar. Queríamos ganar nuestras calificaciones. llamarlo un viaje de culpa?
6) MÁS IMPORTANTE, él nunca enseñó fuera del libro. lo enseñó a su manera, cómo pensó que aprenderíamos. No siguió el libro de reglas establecido. Él adaptó su enfoque.

Descargo de responsabilidad: esta es mi racionalización. No lo hice y no puedo leer los pensamientos de mis compañeros de clase, así que no sé si lo hicimos bien porque realmente nos gustaba el cálculo.

Desafortunadamente, al menos en los Estados Unidos, cuando llegan a la escuela secundaria, muchos niños han sido dañados por el plan de estudios de matemáticas.

Sin embargo, los niños que tienen problemas con el cálculo pueden sufrir daños de manera diferente a los que no pueden hackear el álgebra. En general, se trata de niños que de alguna manera han logrado construir un edificio con ladrillos y morteros arrojados al azar sobre ellos, apilados sobre una base hecha de arenas movedizas.

Pero las dos ideas clave del cálculo no necesitan ser realmente abstractas:

1. Velocidad de cambio o pendiente de una curva.
2. Área bajo una curva.

Ambas son generalizaciones de conceptos enseñados (o al menos arrojados) anteriormente: la pendiente de una línea recta se enseña en álgebra y el área de muchas formas se enseña en geometría.

Siempre les he enseñado a mis alumnos que el cálculo es simplemente una forma de convertir problemas del mundo real (no lineales) en problemas lineales. En pocas palabras, los derivados son una “reducción” en el orden de complejidad de la función, y la integración es su inversa. Como división y multiplicación, o registros y antilogs.

Si puede dibujar algo en un gráfico, la derivada es la linealización local (como sabe si está leyendo esto) en cada punto; imagine sostener una regla contra una versión sólida de la curva. Por supuesto, los extremos interiores se cumplen cuando la regla es plana, y las segundas reglas derivadas para máximo y mínimo son obvias.

Hay dos cosas que hago para asegurarme de que los estudiantes aprendan el material. Primero, use problemas que les interesen. Utilizo ejemplos de mi propio campo, finanzas, pero hay muchos otros tan buenos de ingeniería. En segundo lugar, haz que sea visual para ellos con Excel. Los estudiantes con habilidades de hoja de cálculo tendrán una ventaja en la universidad y la fuerza laboral, y me sorprende la frecuencia con la que los maestros evitan esta herramienta obvia. Una ventaja de Excel es que se pueden hacer diferencias primera y segunda para estimar numéricamente las derivadas y compararlas con las derivadas de funciones reales. El otro beneficio es la visualización rápida de los resultados.

El cálculo se puede enseñar de forma clara, intuitiva y constructiva, así como en cualquier área de las matemáticas. El hecho de que se convierta en un conjunto de reglas para tomar derivadas e integrales con énfasis en el vocabulario y la sintaxis es lo que hace que los estudiantes sientan que entienden cuando en realidad no lo hacen. Cualquier lata matemática ya veces se mata de esta manera. No es el “cálculo” lo que hace que sea difícil de enseñar.

Solía ​​enseñar Cálculo diferencial para polinomios a mi brillante clase de honores de sexto grado justo después de aprender ecuaciones lineales, pendientes y ecuaciones cuadráticas. Les pregunté cuál era la pendiente de cierta parábola. Decidimos que la pregunta no tenía sentido a menos que especificara en qué parte de la curva me refería. Después de eso, calculamos las pendientes entre varios puntos de la parábola y trabajamos para acercar esos dos puntos cada vez más. Todos entendieron la idea de la pendiente instantánea y / o la velocidad (en el caso de una función de distancia), y cómo calcular y apreciar el concepto

Una vez, alguien me preguntó qué era esto, ya que no estaba en el libro, y les dije que era lo básico del cálculo diferencial. La mayoría de los niños y sus padres se sorprendieron porque habían escuchado que el cálculo era difícil. Irónicamente, uno o dos padres pensaron que el material era demasiado difícil de enseñar a sus hijos después de que supieran que era Cálculo …

Enseñándolo intuitivamente, como la pendiente de una línea y el área bajo una curva, sin hackear meses y meses de precalc.

Esto no responde a su pregunta directamente, pero en mi opinión, el cálculo puede esperar a la universidad. Hay un gran apuro a expensas de temas más comprensibles y más ampliamente útiles como el álgebra lineal. Pero el plan de estudios de matemáticas K12 es muy ritualizado y arcaico, así que buena suerte lo cambia.

Enséñalo junto con la física de secundaria (mecánica)

Es el lenguaje que usa la Física ………….

Puede ver las respuestas a ¿Por qué la mayoría de los estudiantes consideran que el cálculo es perturbador y confuso?