¿Es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {\ sin (x)} [/ math] una aproximación adecuada a una onda cuadrada?

Answer 1

Bueno, podría ser con una ligera modificación: deje que [math] f_n (x) = \ sqrt [2n + 1] {\ sin (x)} [/ math] para evitar el problema de tomar raíces pares de números negativos. Con esta definición, tendrías

[matemáticas] f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} f_n (x) = \ cases {0 & $ x = k \ pi $ para entero $ k $ \\ 1 y $ 2k \ pi <x < (2k + 1) \ pi $ para entero $ k $ \\ -1 & $ (2k-1) \ pi <x <2k \ pi $ para entero $ k $} \ tag * {} [/ math]

que es (una versión de) una onda cuadrada. Aquí está el gráfico de [math] f_ {49} (x) [/ math]:

Sin embargo, no estoy realmente seguro de por qué querrías usar una aproximación de este tipo: Calcular [matemáticas] f_ {49} (x) = \ sqrt [99] {\ sin x} [/ matemáticas] es mucho más complicado que simplemente computación [matemáticas] f (x) [/ matemáticas].

¿Es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt [n] {sin (x)} [/ math] una aproximación adecuada a una onda cuadrada?

Answer 2

No. El límite es siempre 1 excepto en los puntos donde sin (x) = 0, donde es cero.

Answer 3

Las raíces tienen sentido solo para números positivos, por lo que su límite tiene sentido solo en el intervalo donde [math] sin (x) [/ math] es positivo ([math] 0-pi () + n * 2pi () [/ math] )

En ese intervalo, el límite es 1, pero en los puntos extremos donde es 0.