¿Cómo encuentro [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {x} {\ sin x} [/ math]?

Answer 1

Puede encontrar la prueba de que [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas] en cualquier libro de texto de cálculo, generalmente justo antes de la prueba de que [matemáticas] \ frac {d} {dx} [\ sin (x)] = \ cos (x) [/ math] —o en varios lugares en Internet, por ejemplo

• ¿Cómo demostrar que $ \ lim \ limits_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x = 1 $?
• Límite de sin (x) / x cuando x se acerca a 0
• Por qué sin (x) / x tiende a 1

Ahora use el hecho de que si [math] \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) = L \ ne 0 [/ math], entonces [math] \ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac { 1} {f (x)} = \ frac {1} {L} [/ math].

Nota: Un purista tendría que objetar el uso de la regla de L’Hôpital, porque introduce un razonamiento circular: como se señaló anteriormente, para encontrar la derivada de [math] \ sin (x) [/ math], primero debe establecer que [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x = 1 [/ matemáticas].

¿Cómo encuentro [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {x} {\ sin x} [/ math] ?

Answer 2

El límite es simplemente el mismo que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac x {\ sin x} = \ lim \ limits_ {x \ to0} \ frac 1 {\ frac {\ sin x} x} \ tag * { }[/matemáticas]

Entonces, nuestro objetivo es encontrar el límite de [matemáticas] \ sen x / x [/ matemáticas] ya que [matemáticas] x [/ matemáticas] tiende a cero. Esto se puede hacer fácilmente geométricamente.

En el diagrama anterior, es bastante obvio que el área de [math] \ triangle OAB [/ math] es menor que el área del sector [math] OAB [/ math] que es menor que el área de [math] \ triangle OAT [/matemáticas]. Sustituyendo sus respectivas fórmulas, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ frac {1} 2r ^ 2 \ sin x <\ frac {1} 2r ^ 2 x <\ frac 12r ^ 2 \ tan x \\ & \ implica \ cos x <\ frac {\ sin x} x <1 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Tomando el límite, y recordando que [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0 ^ {+}} \ cos x = 1 [/ matemáticas], entonces el límite es uno según el Teorema de compresión.

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Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {x} {\ sin x} = \ frac 1 {\ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} } = \ frac 11 = \ boxed {1} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Una sustitución pura producirá [math] \ frac {0} {0} [/ math], una forma indeterminada.

Por lo tanto, puede usar la Regla de L’Hôpital, que dicta que para un límite que resulte en una forma indeterminada como [math] \ frac {0} {0} [/ math] o [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math], [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to n} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to n} \ frac {f ‘ (x)} {g ‘(x)} [/ math].

Por lo tanto, para este límite:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {x} {\ sin x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {\ cos x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {cos (0)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]