Estoy respondiendo a la siguiente versión de la pregunta: “¿Cómo puedo encontrar un operador de derivación ‘D’ donde D (xex) = xex [matemáticas] D (xex) = xex [/ matemáticas] y D (fg) = ( Df) g + f (Dg), [matemáticas] D (fg) = (Df) g + f (Dg), [/ matemáticas] ∀f, g: ℂ → ℂ [matemáticas] ∀f, g: C → C [/matemáticas]?”
Nunca he hecho mucho con esto, pero te diré lo que creo, basado en un poco de conocimiento sobre el estudio del álgebra diferencial. En primer lugar, creo que está condenado desde el principio, a menos que acepte la probabilidad de que su noción de “diferenciable” que determinará el dominio de su operador de derivación no se mantenga para todos los auto-mapas del plano complejo, a menos que es en cierto sentido “trivial”. No tengo pruebas de esto, pero anticipo que es así, porque sabemos que no todas las funciones de valores complejos de una variable compleja son analíticas, y espero que esto eventualmente juegue un papel en su problema. Sin embargo, si está dispuesto a aceptar que algunas funciones del plano complejo en sí mismo no estarán en el dominio de su derivación, entonces creo que lo siguiente puede ser un camino útil.
Deje R denotar el dominio (aún no determinado) de la derivación deseada D (también aún no determinado). Entonces desea tener la función f en R, donde f (z) = zexp (z), y espero que desee que R sea un anillo de funciones. También sospecho que desea incluir la función exponencial en R, denotada por exp. Me parece que es posible que desee definir D para que tanto D (f) = f como D (exp) = exp, intente estar lo más cerca posible de la diferenciación tradicional. Tenga en cuenta que probablemente desee pensar en f como un múltiplo “constante” de exp, porque si este es el caso, entonces se obtiene el resultado deseado. Eso significa que desea que la función de identidad, id, definida por id (z) = z, sea un elemento del anillo (campo?) De constantes de D, es decir, aquellos miembros de R cuya derivada es cero. Denotemos este anillo por K. Dado que la función de identidad está en K, y K es un anillo (en realidad, también puede tomarlo como un álgebra de línea sobre el campo de números complejos), debe contener todos los poderes de la identidad función. El anillo más pequeño es el anillo de funciones polinómicas con coeficientes complejos. Supongamos, entonces, que sea lo que sea R y D, tenemos que K es una sustitución de R y D (p) = 0 para cada elemento de K. Entonces se cumple el requisito de que f es un múltiplo “constante” de exp . Tenga en cuenta también que hemos definido implícitamente la restricción de D a K como la derivación cero.
Ahora, que S sea el anillo de funciones generado por la unión de K con {exp}. Entonces f está en S, y debería poder usar sus propiedades deseadas para D para definir su restricción a S. De hecho, es bastante fácil hacerlo: para cualquier elemento ayb de S, de modo que D esté definido en ayb, definimos D (ab) = aD (b) + D (a) b, y extendemos linealmente a combinaciones lineales con coeficientes polinómicos. Entonces S es un candidato para el dominio R de D, pero estoy seguro de que puede extenderlo aún más, para incluir muchas otras funciones en el anillo de funciones completas de los mapas automáticos del plano complejo.
- ¿Cómo encuentro la derivada de [math] a [/ math] en [math] \ int e ^ {ax} dx [/ math] y [math] \ int (a \ tan {x} + x) ^ x dx [/matemáticas]?
- ¿Cuál es la derivada de 1 / arcsinx?
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Esto es solo una pista de la respuesta. Espero que alguien que investigue la teoría de derivaciones en álgebras lineales complejas pueda brindarle suficiente información para determinar los dominios R máximos posibles de dicha derivación, y los diferentes tipos de derivaciones que son posibles.